Редактирование: Динамическая потеря устойчивости стержня при сжатии (простейшая модель)

[[ Курсовые_работы_по_ВМДС:_2016-2017 | Курсовые работы 2016-2017 учебного года]] > '''Динамическая потеря устойчивости стержня при сжатии (простейшая модель)''' <HR>

'''''Курсовой проект по [[Механика дискретных сред|Механике дискретных сред]]'''''

'''Исполнитель:''' [[Филимонов Александр]]

'''Группа:''' [[Группа 09|09]] (43604/1)

'''Семестр:''' осень 2016


== Формулировка задачи ==
[[Файл:File1.JPG|thumb|Рис.1 Структурная модель для динамического прогиба стержня при постоянной скорости сжатия.|300px]]

Для моделирования динамической потери устойчивости стержня при сжатии с постоянной скоростью рассмотрим простую одномерную модель Рис.1, которая отражает основные физические характеристики стержня подвергающегося сжатию с постоянной скоростью. Стержень моделируется с помощью грузика, двух пружин и двух опор("стен"). Грузик связан с двумя стенками линейными пружинами с жесткостью <math>{\pmb с_{L}}</math>. Поперечная жесткость стержня моделируется пружиной с жесткостью <math>{\pmb с_{T}}</math>. "Стены" движутся навстречу друг другу с постоянной скоростью <math>{\pmb v}</math>.

==Программа==
В данной программе в начальный момент времени задаются:

Скорость движения опор через отношение(в процентах) - <big><math>{\frac{\pmb v}{\pmb v_{s}}}*{100%}</math></big>, где <math>{\pmb v}</math> - скорость опоры, 

<big><math>{\pmb v_{s}}={\pmb a_{0}}*\sqrt{\frac{\pmb с_{L}}{\pmb m}}</math></big>,
где <math>{\pmb a_{0}}</math> - равновесная длина пружины с жесткостью <math>{\pmb k_{1}}</math> = <math>{\pmb с_{L}}</math>,
<math>{\pmb m}</math> - масса грузика.

Жесткости пружин <math>{\pmb k_{1}}</math> = <math>{\pmb с_{L}}</math> и <math>{\pmb k_{2}}</math> = <math>{\pmb с_{T}}</math> задаются через отношение <math>{\frac{\pmb k_{1}}{\pmb k_{2}}}</math>. 

Начальное отклонение грузика от положения равновесия задается также через отношение(в процентах) - <big><math>{\frac{\pmb y}{\pmb a_{0}}}*{100%}</math></big>.

<center>
{{#widget:Iframe|url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/filimonovas/buckling%20failure|width=680|height=1450|border=0}}
</center>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%" >
'''Текст программы на языке JavaScript:'''
<div class="mw-collapsible-content">
<syntaxhighlight lang="javascript" line start="1" enclose="div">
	var integrator = VerletIntegrator;
  	var t = 0;
  	var dt = 0.002;
  	var step = 0;
  	var timeValue = document.getElementById('timeValue');
  	var stepFromBoard = 7;
        var displacementData = {'x': [], 'y': []};
    var forceData = {'x': [], 'y': []};
  	var displacementPlotCanvas = document.getElementById('displacementPlot');
  	var forcePlotCanvas = document.getElementById('forcePlot');
    var textColor = 'rgb(51, 51, 51)';  
  	var weight = undefined;
	var springs = new Array();
	var leftAttachment = undefined;
	var rightAttachment = undefined;
	var middleAttachment = createVerletElement([300, 200],null,Infinity,'isoscales triangle',[16, 10, '-y'],'Turquoise');
	applyInitionalConditions();
	draw();
	function applyInitionalConditions(){
		var displacement = +document.getElementById('displacement').value;
		var velocity = +document.getElementById('velocity').value;
		var stiffness1 = +document.getElementById('stiffness1').value;
		var stiffness2 = +document.getElementById('stiffness2').value;
		var mass = +document.getElementById('mass').value;
      	weight = createVerletElement([300, 200 - displacement],null,mass,'square',[20],'BlueViolet');
		leftAttachment = createVerletElement([14, 200],[14 - velocity * dt, 200],Infinity,'isoscales triangle',[16, 10, '-y'],'Turquoise');
		rightAttachment = createVerletElement([586, 200],[586 + velocity * dt, 200],Infinity,'isoscales triangle',[16, 10, '-y'],'Turquoise');
      	springs = new Array();
		springs.push(createSpringElement(leftAttachment, weight, null, stiffness1, [12, 12], 'Tomato'));
		springs.push(createSpringElement(rightAttachment, weight, null, stiffness1, [12, 12], 'Tomato'));
		springs.push(createSpringElement(middleAttachment, weight, 0, stiffness2, [3, 8], 'Silver'));
    }
    function applyPhysics(){
		if(t > 5.12 && keepPlaying){
          	keepPlaying = false;
            document.getElementById('play').className = 'inactive';
            return;
      	}
      	var deltaX, deltaY, deltalength, diff;
		var force = {'x': 0, 'y': 0};
      	var springForceX = 0;
      	for(var i = 0; i < springs.length; ++i){
          	deltaX = springs[i].end.position.x - springs[i].start.position.x;
            deltaY = springs[i].end.position.y - springs[i].start.position.y;
            deltalength = Math.sqrt(Math.pow(deltaX, 2) + Math.pow(deltaY, 2));
          	if(deltalength){
				diff =  1 - springs[i].freeLength / deltalength;
            }else{diff = 0;}
            force.y -= springs[i].stiffness * deltaY * diff;
          	if(0 == i){
              	springForceX = -springs[i].stiffness * deltaX * diff;
          	}
      	}
      	integrator(weight, force, dt);
		integrator(leftAttachment, null, dt);
      	integrator(rightAttachment, null, dt);
      	
      	if(!(step % 5)){
			displacementData.x.push(t);
			displacementData.y.push(200 - weight.position.y);
			forceData.x.push(t);
			forceData.y.push(springForceX);
          	plotFromData(displacementPlotCanvas, displacementData, 'y(t)', 'rgb(56, 195, 237)', undefined, textColor);
          	plotFromData(forcePlotCanvas, forceData, 'Fx(t)', 'rgb(195, 237, 56)', undefined, textColor);
      	} 
		timeValue.textContent = t.toFixed(2);
		++step;
    }
  	function draw(){
		ctx.clearRect(0, 0, canvas.width, canvas.height);
		for(var i = 0; i < springs.length; ++i){
			springs[i].draw();
		}
		leftAttachment.draw();
		rightAttachment.draw();
		middleAttachment.draw();
		weight.draw();
  	}
  
  	/* Events */
  	document.getElementById('play').onclick = function(){
      	document.getElementById('conditions').className = 'hide';
      	document.getElementById('stand').className = '';
    	animate(5);
    }
	document.getElementById('displacement').onchange = function(){
		document.getElementById('displacementValue').textContent = (+this.value).toFixed(1);
		applyInitionalConditions();
      	draw();
  	}
	document.getElementById('velocity').onchange = function(){
		document.getElementById('velocityValue').textContent = (+this.value).toFixed(1);
		applyInitionalConditions();
      	draw();
  	}
	document.getElementById('stiffness1').onchange = function(){
		document.getElementById('stiffness1Value').textContent = (+this.value).toFixed(1);
		applyInitionalConditions();
      	draw();
  	}
	document.getElementById('stiffness2').onchange = function(){
		document.getElementById('stiffness2Value').textContent = (+this.value).toFixed(1);
		applyInitionalConditions();
      	draw();
  	}
	document.getElementById('mass').onchange = function(){
		document.getElementById('massValue').textContent = (+this.value).toFixed(1);
		applyInitionalConditions();
      	draw();
  	}
    function drawSpringElement(){
        drawSpring(
          			this.start.position.x,
          			this.end.position.x,
          			this.start.position.y,
          			this.end.position.y,
          			this.sizes[0],
          			this.sizes[1],
          			this.color
        			);
    }
    function drawSpring(xStart, xEnd, yStart, yEnd, n, h, color){
      	ctx.beginPath();
        ctx.lineWidth = 2;
        ctx.strokeStyle = color;
        var L = xEnd - xStart;
        var Ly = yEnd - yStart;
        for (var i = 0; i < n; ++i){
            var x_st = xStart + L / n * i;
            var y_st = yStart + Ly / n * i;
            var x_end = xStart + L / n * (i + 1);
            var y_end = yStart + Ly / n * (i + 1);
            var l = x_end - x_st;
            var ly = y_end - y_st;
            ctx.beginPath();
            ctx.bezierCurveTo(x_st, y_st, x_st + l / 4, y_st + ly / 4 +  h, x_st + l / 2, y_st + ly / 2);
            ctx.bezierCurveTo(x_st + l / 2, y_st + ly / 2, x_st + 3 * l / 4, y_st + 3 * ly / 4 - h, x_st + l, y_st + ly);
            ctx.stroke();
        }
      	ctx.closePath();
    }
</syntaxhighlight>
</div>
</div>


==Результаты==

График 1. <big><math>{\frac{\pmb Y(t)}{\pmb a_{0}}}</math></big>, где <math>{Y}</math> - координата "грузика", <math>{a_{0}}</math> - равновесная длина пружинки, соответствующее половине расстояния между опорами, <math>{t}</math> - время.

На графике 1 мы видим колебания около начального положения грузика, а при достижении критической силы в определенный момент времени можно заметить быстрое возрастание прогиба.
 
График 2. <big><math>{\frac{\pmb F_{x}(t)}{\pmb F_{e}}}</math></big>, где <math>{\pmb F_{x}}</math> - проекция результирующей силы на ось <math>{x}</math>, <math>{\pmb F_{е}}</math> - Эйлерова критическая сила в статике, <math>{t}</math> - время.
 
На графике 2 первоначально сила возрастает линейно, но когда она достигает критического значения мы наблюдаем колебательный процесс, причем как амплитуда колебаний, так и среднее значение силы убывают.




[[File:Y(t).JPG|thumb|График 1. '''<math>{\frac{\pmb Y(t)}{\pmb a_{0}}}</math>''' |слева|500px]]
[[File:Fx(t).JPG|thumb|График 2. '''<math>{\frac{\pmb F_{x}(t)}{\pmb F_{e}}}</math>''' |справа|500px]]




























==Ссылки==
*Kuzkin V.A., Dannert M.M.: Dynamic buckling of a column under constant speed compression. Acta Mech (2016) 227:1645-1652.