Редактирование: Дзенушко Дайнис. Курсовой проект по теоретической механике
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | |||
== Тема проекта == | == Тема проекта == | ||
Описание колебаний двойного маятника | Описание колебаний двойного маятника | ||
Строка 33: | Строка 32: | ||
'''Найдем потенциальную и кинетическую энергии системы:''' <math>\Pi_1 , T_1 ; \Pi_2 , T_2 </math> соответственно первого и второго стержней.<br> <math>\Pi = \Pi_1 + \Pi_2</math> - Потенциальная энергия системы<br> | '''Найдем потенциальную и кинетическую энергии системы:''' <math>\Pi_1 , T_1 ; \Pi_2 , T_2 </math> соответственно первого и второго стержней.<br> <math>\Pi = \Pi_1 + \Pi_2</math> - Потенциальная энергия системы<br> | ||
<math>T = T_1 + T_2</math> - Кинетическая энергия системы<br> | <math>T = T_1 + T_2</math> - Кинетическая энергия системы<br> | ||
− | <math>T_1 = \frac{\underline{\omega}_1 \cdot \underline{\underline{\Theta}}_1 \cdot \underline{\omega}_1}{2} = \frac{\Theta_1 \omega_1^2}{2} = \frac{\Theta_1 \dot{\varphi}^2}{2}</math> - Кинетическая энергия | + | <math>T_1 = \frac{\underline{\omega}_1 \cdot \underline{\underline{\Theta}}_1 \cdot \underline{\omega}_1}{2} = \frac{\Theta_1 \omega_1^2}{2} = \frac{\Theta_1 \dot{\varphi}^2}{2}</math> - Кинетическая энергия первого стержня<br> |
− | |||
<math>\Pi_1 = m_1 g \left( \frac{a}{2} - \frac{a}{2} \cos \varphi \right)</math> - Потенциальная энергия первого стержня<br> | <math>\Pi_1 = m_1 g \left( \frac{a}{2} - \frac{a}{2} \cos \varphi \right)</math> - Потенциальная энергия первого стержня<br> | ||
<math>T_2 = \frac{\underline{\omega}_2 \cdot \underline{\underline{\Theta}}_2 \cdot \underline{\omega}_2}{2} + \frac{m_2 \vartheta_c^2}{2}</math> - Кинетическая энергия второго стержня<br> | <math>T_2 = \frac{\underline{\omega}_2 \cdot \underline{\underline{\Theta}}_2 \cdot \underline{\omega}_2}{2} + \frac{m_2 \vartheta_c^2}{2}</math> - Кинетическая энергия второго стержня<br> | ||
Строка 48: | Строка 46: | ||
<math>\underline{\underline{P}} = \underline{\underline{P}}_2 \cdot \underline{\underline{P}}_1</math> - полный тензор поворота второго стержня <br><br> | <math>\underline{\underline{P}} = \underline{\underline{P}}_2 \cdot \underline{\underline{P}}_1</math> - полный тензор поворота второго стержня <br><br> | ||
− | + | Теперь по формуле сложения угловых скоростей<br> | |
− | + | <math>\underline{\omega}_2 = \underline{\tilde{\omega}}_2 + \underline{\underline{P}}_2 \cdot \underline{\omega}_1</math><br> | |
− | <math> \underline{\ | + | Где:<br> |
− | + | <math>\underline{\tilde{\omega}}_2 = - \frac{1}{2} \left( \underline{\underline{\dot{P}}}_2 \cdot \underline{\underline{P}}^T_2 \right)_\times </math><br> | |
− | |||
− | <math>\underline{\omega}_2 = \ | ||
− | |||
Таким образом получаем что:<br> | Таким образом получаем что:<br> | ||
− | <math>\underline{\omega}_2 = | + | <math>\underline{\omega}_2 = - \frac{1}{2} \left( \underline{\underline{\dot{P}}}_2 \cdot \underline{\underline{P}}^T_2 \right)_\times + \underline{\underline{P}}_2 \cdot \dot{\varphi} \underline{k}</math><br><br> |
+ | '''Найдем скорость центра масс второго стержня'''<br> | ||
− | + | <math>\underline{\vartheta}_c = \frac{1}{2}\underline{\omega}_2 \times \underline{b} + \dot{\varphi}\underline{k}\times \underline{a} ; \qquad \underline{a} = \underline{\underline{P}}_1 \cdot a\underline{j} ; \qquad \underline{b} = \underline{\underline{P}}_2\cdot\underline{\underline{P}}_1 \cdot b\underline{j}</math> | |
− | <math>\underline{\vartheta}_c = \frac{1}{2}\underline{\omega}_2 \times \underline{b} + \dot{\varphi}\underline{k}\times \underline{a} ; \qquad \underline{a} = \underline{\underline{P}}_1 \cdot a\underline{j} ; \qquad \underline{b} = \underline{\underline{P}} | ||
<br><br> | <br><br> | ||
'''Найдем кинетическую энергию второго стержня'''<br> | '''Найдем кинетическую энергию второго стержня'''<br> | ||
Запишем тензор инерции второго стержня:<br> | Запишем тензор инерции второго стержня:<br> | ||
− | <math>\underline{\underline{\Theta}}_2 = \frac{ml^2}{12}\left(\underline{\underline{E}} - \underline{\tilde{e}\tilde{e}} \right) ;\qquad \underline{\tilde{e}} = \underline{\underline{P}} | + | <math>\underline{\underline{\Theta}}_2 = \frac{ml^2}{12}\left(\underline{\underline{E}} - \underline{\tilde{e}\tilde{e}} \right) ;\qquad \underline{\tilde{e}} = \underline{\underline{P}}_2 \cdot \underline{\underline{P}}_1 \cdot \underline{j}</math><br><br> |
Теперь мы нашли все необходимое для подставления в формулу для кинетической энергии второго стержня:<br> | Теперь мы нашли все необходимое для подставления в формулу для кинетической энергии второго стержня:<br> | ||
<math>T_2 = \frac{\underline{\omega}_2 \cdot \underline{\underline{\Theta}}_2 \cdot \underline{\omega}_2}{2} + \frac{m_2 \vartheta_c^2}{2}</math> | <math>T_2 = \frac{\underline{\omega}_2 \cdot \underline{\underline{\Theta}}_2 \cdot \underline{\omega}_2}{2} + \frac{m_2 \vartheta_c^2}{2}</math> | ||
Строка 78: | Строка 73: | ||
Проверим описанный выше метод в частном случае при <math>\alpha = 0</math><br> | Проверим описанный выше метод в частном случае при <math>\alpha = 0</math><br> | ||
В таком случае задача сводится к двухмерной.<br> | В таком случае задача сводится к двухмерной.<br> | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
== Обсуждение результатов и выводы == | == Обсуждение результатов и выводы == | ||
− | |||
== Ссылки по теме == | == Ссылки по теме == |