Редактирование: Дзенушко Дайнис. Курсовой проект по теоретической механике
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | |||
== Тема проекта == | == Тема проекта == | ||
Описание колебаний двойного маятника | Описание колебаний двойного маятника | ||
Строка 33: | Строка 32: | ||
'''Найдем потенциальную и кинетическую энергии системы:''' <math>\Pi_1 , T_1 ; \Pi_2 , T_2 </math> соответственно первого и второго стержней.<br> <math>\Pi = \Pi_1 + \Pi_2</math> - Потенциальная энергия системы<br> | '''Найдем потенциальную и кинетическую энергии системы:''' <math>\Pi_1 , T_1 ; \Pi_2 , T_2 </math> соответственно первого и второго стержней.<br> <math>\Pi = \Pi_1 + \Pi_2</math> - Потенциальная энергия системы<br> | ||
<math>T = T_1 + T_2</math> - Кинетическая энергия системы<br> | <math>T = T_1 + T_2</math> - Кинетическая энергия системы<br> | ||
− | <math>T_1 = \frac{\underline{\omega}_1 \cdot \underline{\underline{\Theta}}_1 \cdot \underline{\omega}_1}{2} = \frac{\Theta_1 \omega_1^2}{2} = \frac{\Theta_1 \dot{\varphi}^2}{2}</math> - Кинетическая энергия | + | <math>T_1 = \frac{\underline{\omega}_1 \cdot \underline{\underline{\Theta}}_1 \cdot \underline{\omega}_1}{2} = \frac{\Theta_1 \omega_1^2}{2} = \frac{\Theta_1 \dot{\varphi}^2}{2}</math> - Кинетическая энергия первого стержня<br> |
− | |||
<math>\Pi_1 = m_1 g \left( \frac{a}{2} - \frac{a}{2} \cos \varphi \right)</math> - Потенциальная энергия первого стержня<br> | <math>\Pi_1 = m_1 g \left( \frac{a}{2} - \frac{a}{2} \cos \varphi \right)</math> - Потенциальная энергия первого стержня<br> | ||
− | <math>T_2 = \frac{\underline{\omega}_2 \cdot \underline{\underline{\Theta}}_2 \cdot \underline{\omega}_2 | + | <math>T_2 = \frac{\underline{\omega}_2 \cdot \underline{\underline{\Theta}}_2 \cdot \underline{\omega}_2}{2}</math> - Кинетическая энергия второго стержня<br> |
<math>\underline{\omega}_2 = ?</math><br><br> | <math>\underline{\omega}_2 = ?</math><br><br> | ||
Строка 48: | Строка 46: | ||
<math>\underline{\underline{P}} = \underline{\underline{P}}_2 \cdot \underline{\underline{P}}_1</math> - полный тензор поворота второго стержня <br><br> | <math>\underline{\underline{P}} = \underline{\underline{P}}_2 \cdot \underline{\underline{P}}_1</math> - полный тензор поворота второго стержня <br><br> | ||
+ | Теперь по формуле сложения угловых скоростей<br> | ||
+ | <math>\underline{\omega}_2 = \underline{\tilde{\omega}}_2 + \underline{\underline{P}}_2 \cdot \underline{\omega}_1</math><br> | ||
+ | Где:<br> | ||
+ | <math>\underline{\tilde{\omega}}_2 = \dot{\psi} \underline{e}</math><br> | ||
+ | Таким образом получаем что:<br> | ||
+ | <math>\underline{\omega}_2 = \dot{\psi} \underline{e} + \underline{\underline{P}}_2 \cdot \dot{\varphi} \underline{k}</math><br><br> | ||
− | |||
− | |||
− | + | '''Найдем вектор угловой скорости второго стержня:'''<br> | |
− | + | Для этого произведем некоторые промежуточные вычисления<br> | |
− | + | ---- | |
− | |||
− | + | <math>\underline{e} = \underline{\underline {P}}_1 \cdot \underline{e}_0 = \cos(\varphi)\sin(\alpha)\underline{i} + \sin(\varphi)\sin(\alpha)\underline{j} + \cos(\alpha)\underline{k}</math> - ось вращения второго стержня при данном положении системы<br><br> | |
− | <math>\underline{ | ||
− | <br><br> | ||
− | + | <math>\underline{e}\underline{e} = cos^2(\varphi)sin^2(\alpha)\underline{ii} + cos(\varphi)sin(\varphi)sin^2(\alpha)\underline{ij} + cos(\varphi)cos(\alpha)sin(\alpha)\underline{ik} + cos(\varphi)sin(\varphi)sin^2(\alpha)\underline{ji} + sin^2(\varphi)sin^2(\alpha)\underline{jj} + sin(\varphi)cos(\alpha)sin(\alpha)\underline{jk} + cos(\varphi)cos(\alpha)sin(\alpha)\underline{ki} + sin(\varphi)cos(\alpha)sin(\alpha)\underline{kj} + cos^2(\alpha)\underline{kk}</math><br><br> | |
− | |||
− | <math>\underline{\underline{ | ||
− | |||
− | |||
− | <br><br> | ||
− | + | <math>\underline{ee}\cdot \dot{\varphi}\underline{k} = \dot{\varphi} \left[cos(\varphi)cos(\alpha)sin(\alpha)\underline{i} + sin(\varphi)cos(\alpha)sin(\alpha)\underline{j} + cos^2(\alpha)\underline{k}\right]</math><br><br> | |
− | <math> | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | <math>\left(\underline{\underline{E}} - \underline{ee}\right)\cdot \dot{\varphi}\underline{k} =\dot{\varphi} \left[\underline{k} - cos(\varphi)cos(\alpha)sin(\alpha)\underline{i} - sin(\varphi)cos(\alpha)sin(\alpha)\underline{j} - cos^2(\alpha)\underline{k} \right]</math><br><br> | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | <math>\underline{e} \times \underline{\underline{E}} = cos(\varphi)sin(\alpha)\underline{kj} - cos(\varphi)sin(\alpha)\underline{jk} - sin(\varphi)sin(\alpha)\underline{ki} - sin(\varphi)sin(\alpha)\underline{ik} + cos(\alpha)\underline{ji} - cos(\alpha)\underline{ij}</math><br><br> | |
− | <math>\underline{\ | ||
− | + | <math>(\underline{e} \times \underline{\underline{E}}) \cdot \dot{\varphi}\underline{k} = \dot{\varphi}\left[ -sin(\varphi)sin(\alpha)\underline{i} -cos(\varphi)sin(\alpha)\underline{j} \right]</math> | |
− | <math>\ | ||
− | |||
− | |||
− | + | ---- | |
− | |||
− | + | В результате получаем выражение для вектора угловой скорости второго стержня<br> | |
− | <math> | + | <math>\underline{\omega}_2 = \dot{\psi}\underline{e} + \underline{ee}\cdot \dot{\varphi}\underline{k} + cos(\psi) \left[\left(\underline{\underline{E}} - \underline{ee}\right)\cdot \dot{\varphi}\underline{k} \right] + sin(\psi)\left[(\underline{e} \times \underline{\underline{E}}) \cdot \dot{\varphi}\underline{k} \right] </math><br><br> |
− | + | Представим угловую скорость в виде:<br> | |
− | + | <math>\underline{\omega}_2 = \omega_x \underline{i} + \omega_y \underline{j} + \omega_z \underline{k}</math><br><br> | |
− | + | Тогда получим выражения для компонент угловой скорости:<br> | |
− | + | <math>\omega_x = \dot\psi\cos\varphi\sin\alpha+(1-\cos\psi)\cos\alpha\cos\varphi\sin\alpha \dot\varphi - \sin\psi\sin\alpha\sin\varphi \dot\varphi</math><br><br> | |
− | <math> | + | <math>\omega_y = \dot\psi\sin\varphi\sin\alpha+(1-\cos\psi)\cos\alpha\sin\varphi\sin\alpha \dot\varphi - \sin\psi\sin\alpha\cos\varphi \dot\varphi</math><br><br> |
− | <math>\ | + | <math>\omega_z = \dot\psi\cos\alpha + (1-\cos\psi)\cos^2\alpha\dot\varphi + \cos\psi\dot\varphi</math><br><br> |
− | + | '''Найдем кинетическую энергию второго стержня'''<br> | |
− | <math> | + | Запишем тензор инерции второго стержня:<br> |
− | \ | + | <math>\underline{\underline{\Theta}}_2 = \frac{ml^2}{3}\left(\underline{\underline{E}} - \underline{\tilde{e}\tilde{e}} \right) ;\qquad \underline{\tilde{e}} = \underline{\underline{P}}_2 \cdot \underline{\underline{P}}_1 \cdot \underline{j}</math><br><br> |
− | |||
− | |||
− | \ | ||
− | </math> | ||
== Обсуждение результатов и выводы == | == Обсуждение результатов и выводы == | ||
− | |||
== Ссылки по теме == | == Ссылки по теме == |