Текущая версия |
Ваш текст |
Строка 1: |
Строка 1: |
− | [[Dzenushko Dainis. Course project for theoretical mechanics "Double pendulum" | English version ]][[Файл:EN.jpg]]
| |
| == Тема проекта == | | == Тема проекта == |
− | Описание колебаний двойного маятника | + | Описание движения двойного маятника |
− | | |
| == Постановка задачи == | | == Постановка задачи == |
| Стержень прикреплен к потолку посредством циллиндрического шарнира. Cнизу к этому стержню прикреплен второй также посредством циллиндрического шарнира таким образом что когда маятник вытянут вдоль вертикали, обе оси вращения шарниров расположены в горизонтальной плоскости а угол между ними составляет <math>\alpha</math>. Диссипативные силы не учитываются.<br> | | Стержень прикреплен к потолку посредством циллиндрического шарнира. Cнизу к этому стержню прикреплен второй также посредством циллиндрического шарнира таким образом что когда маятник вытянут вдоль вертикали, обе оси вращения шарниров расположены в горизонтальной плоскости а угол между ними составляет <math>\alpha</math>. Диссипативные силы не учитываются.<br> |
Строка 8: |
Строка 6: |
| #Тензоры инерции первого и второго стержней равны <math>\underline{\underline{\Theta}}_1</math> и <math>\underline{\underline{\Theta}}_2</math> соответственно. | | #Тензоры инерции первого и второго стержней равны <math>\underline{\underline{\Theta}}_1</math> и <math>\underline{\underline{\Theta}}_2</math> соответственно. |
| #Длины стержней равны a и b, их массы <math>m_1</math> и <math>m_2</math> соответственно первому и второму стержням. | | #Длины стержней равны a и b, их массы <math>m_1</math> и <math>m_2</math> соответственно первому и второму стержням. |
− | #Угол между осями вращения шарниров равен <math>\alpha</math><br> | + | #Угол между осями вращения шарниров равен <math>\alpha</math> |
− | *<math>\varphi</math> - угол между первым стержнем и вертикалью
| |
− | *<math>\psi</math> - угол между осью первого стержня и вторым стержнем т.е. угол во втором шарнире относительно вытянутого положения
| |
− | | |
− | <gallery widths=231px heights=319px perrow = 1>
| |
− | Файл:2_oscillator.jpg
| |
− | </gallery>
| |
− | '''Задача:'''<br>
| |
− | *Найти уравнение движения системы
| |
| | | |
| == Решение == | | == Решение == |
− | '''Определимся с подходом к решению:''' Задачу будем решать при помощи уравнения Лагранжа имеющего следующий вид:<br>
| |
− | <math>\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i}-\frac{\partial T}{\partial q_i} = -\frac{\partial \Pi}{\partial q_i}+Q_i</math><br>
| |
− | *<math>T</math> - Кинетическая энергия системы <br>
| |
− | *<math>\Pi</math> - Потенциальная энергия системы<br>
| |
− | *<math>q_i</math> - Обобщенные координаты<br>
| |
− | *<math>\dot{q}_i</math> - Обобщенные скорости<br>
| |
− | *<math>Q_i</math> - Обобщенные непотенциальные силы<br>
| |
− | <br>
| |
− |
| |
− | '''Выберем обобщенные координаты:''' в качестве обобщенных координат возьмем углы <math>\varphi</math> и <math>\psi</math> <br>
| |
− | *В нашем случае отсутствуют обощенные силы, соответствующие непотенциальным взаимодействиям.<br>
| |
− |
| |
− | '''Найдем потенциальную и кинетическую энергии системы:''' <math>\Pi_1 , T_1 ; \Pi_2 , T_2 </math> соответственно первого и второго стержней.<br> <math>\Pi = \Pi_1 + \Pi_2</math> - Потенциальная энергия системы<br>
| |
− | <math>T = T_1 + T_2</math> - Кинетическая энергия системы<br>
| |
− | <math>T_1 = \frac{\underline{\omega}_1 \cdot \underline{\underline{\Theta}}_1 \cdot \underline{\omega}_1}{2} = \frac{\Theta_1 \omega_1^2}{2} = \frac{\Theta_1 \dot{\varphi}^2}{2}</math> - Кинетическая энергия первого стержня; Где
| |
− | <math>\qquad \Theta_1 = \frac{m_1 a^2}{3}</math> - момент инерции первого стержня<br>
| |
− | <math>\Pi_1 = m_1 g \left( \frac{a}{2} - \frac{a}{2} \cos \varphi \right)</math> - Потенциальная энергия первого стержня<br>
| |
− | <math>T_2 = \frac{\underline{\omega}_2 \cdot \underline{\underline{\Theta}}_2 \cdot \underline{\omega}_2}{2} + \frac{m_2 \vartheta_c^2}{2}</math> - Кинетическая энергия второго стержня<br>
| |
− | <math>\underline{\omega}_2 = ?</math><br><br>
| |
− |
| |
− | '''Найдем вектор угловой скорости второго стержня:''' <br>
| |
− | Для нахождения <math>\underline{\omega}_2</math> найдем тензоры поворота первого и второго стержней<br>
| |
− | <math>\underline{\underline{P}}_1(\varphi,\underline{k}) = \underline{k}\underline{k} + (\underline{\underline{E}} - \underline{k}\underline{k})cos(\varphi) + \underline{k} \times \underline{\underline{E}}sin(\varphi)</math><br>
| |
− | <math>\underline{\underline{P}}_2(\psi,\underline{e}) = \underline{e}\underline{e} + (\underline{\underline{E}} - \underline{e}\underline{e})cos(\psi) + \underline{e} \times \underline{\underline{E}}sin(\psi)</math><br>
| |
− | Где:<br>
| |
− | <math>\underline{e} = \underline{\underline {P}}_1 \cdot \underline{e}_0</math> - ось вращения второго стержня в данном положении<br>
| |
− | <math>\underline{e}_0 = \cos(\alpha) \underline{k} + \sin(\alpha) \underline{i}</math> - ось вращения второго стержня в начальном положении <br><br>
| |
− |
| |
− | <math>\underline{\underline{P}} = \underline{\underline{P}}_2 \cdot \underline{\underline{P}}_1</math> - полный тензор поворота второго стержня <br><br>
| |
− |
| |
− | Но:<br>
| |
− | <math> \underline{\underline{P}} = \underline{\underline{P}}_2 \cdot \underline{\underline{P}}_1 = \underline{\underline{P}}(\psi,\underline{e}) \cdot \underline{\underline{P}}_1 = \underline{\underline{P}}_1 \cdot \underline{\underline{P}}(\psi,\underline{e_0})\cdot \underline{\underline{P}}^T_1 \cdot \underline{\underline{P}}_1 = \underline{\underline{P}}_1 \cdot \underline{\underline{P}}(\psi,\underline{e_0})</math><br>
| |
− |
| |
− | Теперь применяя формулу сложения угловых скоростей получим:<br>
| |
− | <math>\underline{\omega}_2 = \underline{\omega}_1 + \underline{\underline{P}}_1 \cdot \underline{\tilde{\omega}}_2; \qquad \underline{\tilde{\omega}}_2 = \dot{\psi}\underline{e_0}</math><br>
| |
− |
| |
− | Таким образом получаем что:<br>
| |
− | <math>\underline{\omega}_2 = \dot{\varphi} \underline{k} + \dot{\psi}\underline{e}</math><br><br>
| |
− |
| |
− | '''Найдем скорость центра масс второго стержня'''<br>
| |
− | <math>\underline{\vartheta}_c = \frac{1}{2}\underline{\omega}_2 \times \underline{b} + \dot{\varphi}\underline{k}\times \underline{a} ; \qquad \underline{a} = \underline{\underline{P}}_1 \cdot a\underline{j} ; \qquad \underline{b} = \underline{\underline{P}}_1 \cdot \underline{\underline{P}}(\psi,\underline{e_0}) \cdot b\underline{j}</math>
| |
− | <br><br>
| |
− |
| |
− | '''Найдем кинетическую энергию второго стержня'''<br>
| |
− | Запишем тензор инерции второго стержня:<br>
| |
− | <math>\underline{\underline{\Theta}}_2 = \frac{ml^2}{12}\left(\underline{\underline{E}} - \underline{\tilde{e}\tilde{e}} \right) ;\qquad \underline{\tilde{e}} = \underline{\underline{P}}_1 \cdot \underline{\underline{P}}(\psi,\underline{e_0}) \cdot \underline{j}</math><br><br>
| |
− | Теперь мы нашли все необходимое для подставления в формулу для кинетической энергии второго стержня:<br>
| |
− | <math>T_2 = \frac{\underline{\omega}_2 \cdot \underline{\underline{\Theta}}_2 \cdot \underline{\omega}_2}{2} + \frac{m_2 \vartheta_c^2}{2}</math>
| |
− | <br><br>
| |
− |
| |
− | '''Найдем потенциальную энергию второго стержня'''<br>
| |
− | <math>\Pi_2 = mg(a+b - \underline{r}_c \cdot \underline{j}); \qquad \underline{r}_c = \underline{a} + \frac{1}{2}\underline{b}</math> - радиус-вектор центра масс второго стержня<br><br>
| |
− | '''Получение уравнения движения'''<br>
| |
− | Продифференцируем полученные выражения для потенциальной и кинетической энергий, как это требует уравнение Лагранжа и подставим полученное в него. В результате получим систему из двух дифференциальных уравнений которые описывают движение системы.<br>
| |
− | Заметим что данный метод решения дает нам уравнение движения для больших углов, в случае необходимости его можно линеаризовать предположив что углы <math>\varphi,\psi</math> малы и отбросив слагаемые второго порядка.<br>
| |
− |
| |
− | == Применение метода решения для частного случая ==
| |
− | Проверим описанный выше метод в частном случае при <math>\alpha = 0</math><br>
| |
− | В таком случае задача сводится к двухмерной.<br>
| |
− | '''Найдем тензоры поворота'''<br>
| |
− | <math>\underline{\underline{P}}_1(\varphi,\underline{k}) = \underline{k}\underline{k} + (\underline{\underline{E}} - \underline{k}\underline{k})cos(\varphi) + \underline{k} \times \underline{\underline{E}}sin(\varphi)</math><br><br>
| |
− | <math>\underline{e}_0 = \cos(\alpha) \underline{k} + \sin(\alpha) \underline{i} = \underline{k}</math><br>
| |
− | <math>\underline{e} = \underline{\underline {P}}_1 \cdot \underline{e}_0 = \underline{k}</math><br>
| |
− | <math>\underline{\underline{P}}_2(\psi,\underline{e})= \underline{\underline{P}}_2(\psi,\underline{k}) = \underline{k}\underline{k} + (\underline{\underline{E}} - \underline{k}\underline{k})cos(\psi) + \underline{k} \times \underline{\underline{E}}sin(\psi)</math><br><br>
| |
− |
| |
− | '''Найдем угловую скорость второго стержня'''<br>
| |
− | <math>\underline{\omega}_2 = (\dot{\varphi}+\dot{\psi})\underline{k}</math><br><br>
| |
− |
| |
− | '''Найдем скорость центра масс'''<br>
| |
− | <math>\upsilon^2_c = \frac{1}{4} b^2 (\dot{\varphi}+\dot{\psi})^2 + ab\cos\psi(\dot{\varphi}+\dot{\psi})\dot{\varphi} + a^2\dot{\varphi}^2</math><br><br>
| |
− |
| |
− | '''Найдем кинетическую энергию второго стержня'''<br>
| |
− | <math>T_2 = \frac{1}{2} \left( \frac{m_2 b^2}{3}(\dot{\varphi}+\dot{\psi})^2 + m_2 ab\cos\psi(\dot{\varphi}+\dot{\psi})\dot{\varphi} + m_2 a^2\dot{\varphi}^2 \right)</math><br><br>
| |
− |
| |
− | '''Найдем потенциальную энергию второго стержня'''<br>
| |
− | <math>\Pi_2 = m_2 g \left[ a \left(1-\cos\varphi \right) + \frac{b}{2}\left(2 + \sin\varphi\sin\psi - \cos\varphi\cos\psi \right) \right]</math><br><br>
| |
− |
| |
− | '''Найдем кинетическую и потенциальную энергии первого стержня'''<br>
| |
− | <math>T_1 = \frac{1}{2}\frac{m_1 a^2}{3}\dot{\varphi}^2</math><br>
| |
− | <math>\Pi_1 = m_1 g \left( \frac{a}{2} - \frac{a}{2} \cos \varphi \right)</math><br><br>
| |
− |
| |
− | '''Получение уравнения движения для частного случая'''<br>
| |
− | Запишем выражения для полной кинетической и потенциальной энергий:<br>
| |
− | <math>T = \frac{1}{2}\frac{m_1 a^2}{3}\dot{\varphi}^2 + \frac{1}{2} \left( \frac{m_2 b^2}{3}(\dot{\varphi}+\dot{\psi})^2 + m_2 ab\cos\psi(\dot{\varphi}+\dot{\psi})\dot{\varphi} + m_2 a^2\dot{\varphi}^2 \right)</math><br>
| |
− | <math>\Pi = m_1 g \left( \frac{a}{2} - \frac{a}{2} \cos \varphi \right) + m_2 g \left[ a \left(1-\cos\varphi \right) + \frac{b}{2}\left(2 + \sin\varphi\sin\psi - \cos\varphi\cos\psi \right) \right]</math><br>
| |
− | Теперь продифференцируем энергии и произведем линеаризацию полученного результата предполагая что <math>\varphi , \psi</math> малые углы оставив только бесконечно малые первого порядка. В результате получим уравнение движения:<br>
| |
− | <math>
| |
− | \begin{cases}
| |
− | \ddot{\varphi} \left( \frac{m_1 a^2}{3} + \frac{m_2 b^2}{3} + m_2 a (a+b) \right) + \ddot{\psi} \left( \frac{m_2 b^2}{3} + \frac{m_2 ab}{2} \right) + \varphi \frac{g}{2} \left((m_1+2m_2)a+m_2 b \right)+\psi \frac{g}{2}m_2 b = 0\\
| |
− | \ddot{\varphi} \left( \frac{m_2 b^2}{3} + \frac{m_2 ab}{2} \right) + \ddot{\psi} \frac{m_2 b^2}{3} + \varphi \frac{g}{2} m_2 b + \psi \frac{g}{2} m_2 b = 0\\
| |
− | \end{cases}
| |
− | </math>
| |
| | | |
| == Обсуждение результатов и выводы == | | == Обсуждение результатов и выводы == |
− | В данной работе был подробно описан алгоритм решения задачи о двойном маятнике в случае когда оба шарнира циллиндрические. Затем данный метод был применен для частного случая плоской задачи.
| |
| | | |
− | == Ссылки по теме == | + | == Ссылки по теме == |
− | *[http://en.wikipedia.org/wiki/Double_pendulum Double pendulum 2D Wiki]<br>
| |
− | *[http://vuz.exponenta.ru/PDF/koleb2s2.html Двумерный случай двойного маятника]
| |
| | | |
| == См. также == | | == См. также == |