Редактирование: Вязкоупругая модель склеральной оболочки глаза
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 69: | Строка 69: | ||
==Результаты исследования== | ==Результаты исследования== | ||
− | Мы получили реальные функции перемещений и радиальных напряжений, зависящие от времени, путем применения численного обратного преобразования Лапласа к полученным нами ранее функциям изображений для перемещений и радиальных напряжений. Мы исследовали результаты, полученные на основе применения трех перечисленных в данной работе численных алгоритмов, а именно: алгоритма Закиана, алгоритма Джеффресона и Чоу для 10-ти и 15-ти членов разложения ряда в квадратурной формуле, задающей | + | Мы получили реальные функции перемещений и радиальных напряжений, зависящие от времени, путем применения численного обратного преобразования Лапласа к полученным нами ранее функциям изображений для перемещений и радиальных напряжений. Мы исследовали результаты, полученные на основе применения трех перечисленных в данной работе численных алгоритмов, а именно: алгоритма Закиана, алгоритма Джеффресона и Чоу для 10-ти и 15-ти членов разложения ряда в квадратурной формуле, задающей обратное преобразование Лапласа. Коэффициент сдвиговой вязкости склеры был определен при двух типах граничного условия на внутреннем радиусе: в первом случае предполагалось, что объем глаза не меняется в течение времени проведения эксперимента, во втором учитывался отток внутриглазной жидкости. Зависимость скорости изменения объема внутриглазной жидкости от времени определялась на основании нескольких схем обработки данных тонографического исследования, предложенных в работе Г. Любимова. При численном решении задачи мы использовали следующие значения параметров: <math>{{R_1}}=11.75</math> мм, <math>{{R_2}}=12.25</math> мм, <math>{{E_{22}}}=14.3</math> МПа, <math>{{E_{11}}}=0.01{{E_{22}}}</math>, <math>{{\nu _{12}}}=0.01</math>, <math>{{\nu _{23}}}=0.45</math>, указанные в работах С.М. Бауэр.<br> |
− | |||
Обсудим результаты, полученные в предположении, что объем глаза не меняется на протяжении времени проведения эксперимента. При этом будем пользоваться стандартной схемой обработки данных тонографического исследования. В данном случае мы используем все безразмерные величины, перечисленные ранее в настоящей работе. Отметим, что в данном случае безразмерное радиальное напряжение не зависит от коэффициента сдвиговой вязкости в явном виде. Данный коэффициент не входит в уравнение равновесия и в выражение для радиальной компоненты тензора напряжений и не задается в качестве известного параметра задачи. Безразмерное радиальное напряжение является функцией безразмерного времени, которое, в свою очередь, связано с коэффициентом сдвиговой вязкости через размерное время. Так, коэффициент сдвиговой вязкости может быть определен по следующей формуле:<br> | Обсудим результаты, полученные в предположении, что объем глаза не меняется на протяжении времени проведения эксперимента. При этом будем пользоваться стандартной схемой обработки данных тонографического исследования. В данном случае мы используем все безразмерные величины, перечисленные ранее в настоящей работе. Отметим, что в данном случае безразмерное радиальное напряжение не зависит от коэффициента сдвиговой вязкости в явном виде. Данный коэффициент не входит в уравнение равновесия и в выражение для радиальной компоненты тензора напряжений и не задается в качестве известного параметра задачи. Безразмерное радиальное напряжение является функцией безразмерного времени, которое, в свою очередь, связано с коэффициентом сдвиговой вязкости через размерное время. Так, коэффициент сдвиговой вязкости может быть определен по следующей формуле:<br> | ||
<math>\eta = \dfrac{{{E_{\theta \theta }}t}}{\tau }.</math><br> | <math>\eta = \dfrac{{{E_{\theta \theta }}t}}{\tau }.</math><br> | ||
Строка 82: | Строка 81: | ||
|- | |- | ||
|ВГД=4533 Па, t=120 с | |ВГД=4533 Па, t=120 с | ||
− | | <math>\eta = 12.8 | + | | <math>\eta = 12.8 МПа\cdot с</math> |
− | |<math>\eta = 12.8 | + | |<math>\eta = 12.8 МПа\cdot с</math> |
− | |<math>\eta = 12.9 | + | |<math>\eta = 12.9 МПа\cdot с</math> |
|- | |- | ||
|ВГД=4800 Па, t=180 с | |ВГД=4800 Па, t=180 с | ||
− | |<math>\eta = 27.8 | + | |<math>\eta = 27.8 МПа\cdot с</math> |
− | |<math>\eta = 27.7 | + | |<math>\eta = 27.7 МПа\cdot с</math> |
− | |<math>\eta = 27.8 | + | |<math>\eta = 27.8 МПа\cdot с</math> |
|} | |} | ||
[[Файл:IOP Pa.png|400px|thumb|right|]] | [[Файл:IOP Pa.png|400px|thumb|right|]] | ||
Строка 95: | Строка 94: | ||
<br> | <br> | ||
<br> | <br> | ||
− | + | [[Файл:Comp num.png|300px|thumb|left|]] | |
+ | Графическое сравнение численных алгоритмов представлено на рисунке слева. Как видно, расхождение методов мало и наблюдается во второй половине эксперимента. При этом мы не можем сделать вывод о том, какой из численных алгоритмов дает наилучший результат, поскольку экспериментальные точки на данном временном участке расположены ниже асимптоты. Стоит отметить, что выполнение алгоритма Закиана является наименее трудоемким в силу использования наименьшего числа коэффициентов ряда разложения в квадратурной формуле, задающей численное обратное преобразование Лапласа. | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
Перейдем к обсуждению результатов, полученных при учете гидродинамики внутриглазной жидкости. В данном случае мы используем размерное время (в секундах) при построении уравнения равновесия и выражения для радиальной компоненты тензора напряжений в связи с тем, что в граничном условии для перемещений присутствует интеграл по времени. Коэффициент сдвиговой вязкости склеры в данном случае входит в решаемые уравнения в явном виде, а его величину необходимо задавать в качестве известного параметра при численных вычислениях. Для определения оптимального значения коэффициента сдвиговой вязкости воспользуемся методом бисекции, основанном на первой теореме Больцано – Коши: <math>\Phi (\eta ) \in C[{\eta _a},{\eta _b}],\Phi ({\eta _a}) \cdot \Phi ({\eta _b}) < 0 \Rightarrow \exists {\eta _c} \in [{\eta _a},{\eta _b}]:\Phi ({\eta _c}) = 0</math>.В качестве функции <math>\Phi (\eta )</math> будем рассматривать: <br> | Перейдем к обсуждению результатов, полученных при учете гидродинамики внутриглазной жидкости. В данном случае мы используем размерное время (в секундах) при построении уравнения равновесия и выражения для радиальной компоненты тензора напряжений в связи с тем, что в граничном условии для перемещений присутствует интеграл по времени. Коэффициент сдвиговой вязкости склеры в данном случае входит в решаемые уравнения в явном виде, а его величину необходимо задавать в качестве известного параметра при численных вычислениях. Для определения оптимального значения коэффициента сдвиговой вязкости воспользуемся методом бисекции, основанном на первой теореме Больцано – Коши: <math>\Phi (\eta ) \in C[{\eta _a},{\eta _b}],\Phi ({\eta _a}) \cdot \Phi ({\eta _b}) < 0 \Rightarrow \exists {\eta _c} \in [{\eta _a},{\eta _b}]:\Phi ({\eta _c}) = 0</math>.В качестве функции <math>\Phi (\eta )</math> будем рассматривать: <br> | ||
<math>\Phi \left( \eta \right) = \left( {IO{P_{\exp eriment(\dim )}} - \left( { - {{\left. {{\sigma _{xx}}} \right|}_{x = \beta }}} \right)} \right)\left| {_{t = {t_{{\rm{experiment}}}}}} \right..</math><br> | <math>\Phi \left( \eta \right) = \left( {IO{P_{\exp eriment(\dim )}} - \left( { - {{\left. {{\sigma _{xx}}} \right|}_{x = \beta }}} \right)} \right)\left| {_{t = {t_{{\rm{experiment}}}}}} \right..</math><br> | ||
Строка 107: | Строка 111: | ||
|- | |- | ||
|ВГД=4533 Па, t=120 с | |ВГД=4533 Па, t=120 с | ||
− | |<math>\eta = 57.1 | + | | <math>\eta = 57.1 МПа\cdot с</math> |
− | |<math>\eta = 57.1 | + | |<math>\eta = 57.1 МПа\cdot с</math> |
− | |<math>\eta = 57.1 | + | |<math>\eta = 57.1 МПа\cdot с</math> |
|- | |- | ||
|ВГД=3466 Па, t=300 с | |ВГД=3466 Па, t=300 с | ||
− | |<math>\eta = 58.6 | + | |<math>\eta = 58.6 МПа\cdot с</math> |
− | |<math>\eta = 59.1 | + | |<math>\eta = 59.1 МПа\cdot с</math> |
− | |<math>\eta = 58.3 | + | |<math>\eta = 58.3 МПа\cdot с</math> |
|- | |- | ||
|ВГД=2800 Па, t=500 с | |ВГД=2800 Па, t=500 с | ||
− | |<math>\eta = 33.8 | + | |<math>\eta = 33.8 МПа\cdot с</math> |
− | |<math>\eta = 35.3 | + | |<math>\eta = 35.3 МПа\cdot с</math> |
− | |<math>\eta = 33.0 | + | |<math>\eta = 33.0 МПа\cdot с</math> |
|} | |} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
==Выводы== | ==Выводы== |