Редактирование: "Численные методы интегрирования уравнений движения для одномерной линейной цепочки и частицы в потенциальной яме Леннарда-Джонса"
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 8: | Строка 8: | ||
==Постановка задачи:== | ==Постановка задачи:== | ||
− | # Сравнить различные методы интегрирования уравнений движения (Верле, Рунге-Кутта 4 порядка). Реализовать фиксированные, свободные и периодические условия | + | # Сравнить различные методы интегрирования уравнений движения (Верле, Рунге-Кутта 4 порядка). Реализовать фиксированные, свободные и периодические условия</div> |
# Численно определить скорость диссоциации частицы в потенциальной яме Леннарда-Джонса | # Численно определить скорость диссоциации частицы в потенциальной яме Леннарда-Джонса | ||
==Теоретическая сводка:== | ==Теоретическая сводка:== | ||
− | + | # Одномерная линейная цепочка | |
Рассмотрим модель колебаний одинаковых атомов массой m, находящихся в одномерной цепочке. Пусть в этой цепочке находится N атомов, связанных между собой квазиупругой силой с коэффициентом упругости k. | Рассмотрим модель колебаний одинаковых атомов массой m, находящихся в одномерной цепочке. Пусть в этой цепочке находится N атомов, связанных между собой квазиупругой силой с коэффициентом упругости k. | ||
− | [[Image: | + | [[Image:Изображение1.png|top]] |
− | + | <div style="margin-left:1.27cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение2.png|top]]</div> | |
− | + | <div style="margin-left:1.27cm;margin-right:0cm;">Если учитывать взаимодействие только соседних атомов, уравнение движения можно записать в следующем виде:</div> | |
+ | <div style="margin-left:1.27cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение3.png|top]]</div> | ||
− | |||
− | + | <div style="margin-left:1.27cm;margin-right:0cm;">Для решения уравнения движения воспользуемся численными методами интегрирования:</div> | |
− | |||
− | + | <div style="margin-left:1.27cm;margin-right:0cm;">а. Метод Верле</div> | |
− | + | б. Метод Рунге-Кутта 4 порядка | |
− | + | <div style="margin-left:1.27cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение4.png|top]]</div> | |
− | |||
− | [[Image: | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | [[Image: | + | <div style="margin-left:1.27cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение5.png|top]]</div> |
− | [[Image: | + | <div style="margin-left:1.27cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение6.png|top]][[Image:Изображение7.png|top]][[Image:Изображение8.png|top]]</div> |
− | [[Image: | + | <div style="margin-left:1.27cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение9.png|top]]</div> |
− | [[Image: | + | <div style="margin-left:1.27cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение10.png|top]]</div> |
− | [[Image: | + | <div style="margin-left:1.27cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение11.png|top]]</div> |
− | [[Image: | + | <div style="margin-left:1.27cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение12.png|top]]</div> |
− | [[Image: | + | <div style="margin-left:1.27cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение13.png|top]]</div> |
− | [[Image: | + | <div style="margin-left:1.27cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение14.png|top]]</div> |
− | [[Image: | + | <div style="margin-left:1.27cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение15.png|top]]</div> |
− | |||
− | + | Для каждого из методов реализуются 3 вида граничных условий:# Фиксированные граничные условия | |
− | |||
− | + | <div style="margin-left:2.387cm;margin-right:0cm;"></div> | |
− | + | <div style="margin-left:2.387cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение16.png|top]]</div> | |
− | [[Image: | + | <div style="margin-left:2.387cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение17.png|top]]</div> |
− | [[Image: | + | <div style="margin-left:2.387cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение18.png|top]]</div> |
− | [[Image: | + | <div style="margin-left:2.387cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение19.png|top]]</div> |
− | |||
− | + | # Свободные граничные условия | |
− | |||
− | |||
− | + | <div style="margin-left:2.387cm;margin-right:0cm;"></div> | |
− | [[Image: | + | <div style="margin-left:2.387cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение20.png|top]]</div> |
− | [[Image: | + | <div style="margin-left:2.387cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение21.png|top]]</div> |
− | |||
− | + | # Периодические граничные условия | |
− | |||
− | |||
− | + | <div style="margin-left:2.387cm;margin-right:0cm;"></div> | |
− | [[Image: | + | <div style="margin-left:2.387cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение22.png|top]]</div> |
− | + | <div style="margin-left:2.387cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение23.png|top]]</div> | |
− | |||
− | + | # Частица в потенциальной яме Леннарда-Джонса | |
− | |||
− | |||
Уравнение движения частицы в потенциальной яме Леннарда-Джонса: | Уравнение движения частицы в потенциальной яме Леннарда-Джонса: | ||
− | [[Image: | + | <div style="margin-left:2.387cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение24.png|top]]</div> |
− | [[Image: | + | <div style="margin-left:2.387cm;margin-right:0cm;">[[Image:Изображение25.png|top]]</div> |
− | [[Image: | + | [[Image:Изображение26.png|top]] |
Скоростью диссоциации будем называть скорость, которую необходимо сообщить частице, чтобы она улетела на бесконечность. | Скоростью диссоциации будем называть скорость, которую необходимо сообщить частице, чтобы она улетела на бесконечность. | ||
− | [[Image: | + | [[Image:Изображение27.png|top]] |
− | + | Решение: | |
− | + | Вывод:# Были реализованы различные методы интегрирования уравнения движения одномерной линейной цепочки. Заметим, что метод Верле является симплектическим и сохраняет энергию, в то время как метод Рунге-Кутта энергию не сохраняет. | |
− | + | # Была численно найдена скорость диссоциации частицы в потенциальной яме Леннарда-Джонса, которая с заданной точностью совпала с теоретическим значением. | |
− |