Редактирование: "Одномерная линейная цепочка и частица в потенциальной яме Леннарда-Джонса"

'''''Курсовой проект по [[Механика дискретных сред|Механике дискретных сред]]'''''

'''Исполнитель:''' [[Кравченко Ирина]]

'''Группа:'''  3630103/60101

'''Семестр:''' осень 2019

==Постановка задачи==
1) Сравнить различные методы интегрирования уравнений движения одномерной линейной цепочки (Верле, Рунге-Кутта).
Реализовать фиксированные, свободные и периодические граничные условия.

2) Рассмотреть движение частицы в потенциальной яме Леннарда-Джонса: численно определить скорость диссоциации.

==Первая задача==

===Первая задача: решение===

Уравнение движения: 

<math> \dot{v} = w^2 (x_{i+1} - 2x_{i} + x_{i-1}) </math><br>
<math> \dot{x} = v </math><br>

===Первая задача: метод Верле===
<math> v_{i+1} = v_i + w^2 (x_{i+1} - 2x_{i} + x_{i-1})\Delta t </math><br>
<math> x_{i+1} = x_i + v_{i+1}\Delta t </math><br>

===Первая задача: метод Рунге-Кутта 4 порядка===
<math> v_{i+1} = v_i + \frac {g_1 + 2g_2+2g_3+g_4}{6}</math><br>
<math> x_{i+1} = x_i + \frac {k_1 + 2k_2+2k_3+k_4}{6}</math><br>

Где 

<math> g_1(i,j) = h F(u_{i,j - 1}, u_{i,j}, u_{i,j + 1})</math><br>
<math> g_2(i,j) = h F(u_{i,j - 1} + \frac {g_1(i,j-1)}{2}, u_{i,j} + \frac {g_1(i,j)}{2}, u_{i,j + 1} + \frac {g_1(i,j+1)}{2})</math><br>
<math> g_3(i,j) = h F(u_{i,j - 1} + \frac {g_2(i,j-1)}{2}, u_{i,j} + \frac {g_2(i,j)}{2}, u_{i,j + 1} + \frac {g_2(i,j+1)}{2})</math><br>
<math> g_4(i,j) = h F(u_{i,j - 1} + g_3(i,j-1), u_{i,j} + g_3(i,j), u_{i,j + 1} + g_3(i,j+1))</math><br>

<math> k_{1} = h v_{i,j}</math><br>
<math> k_{2} = h (v_{i,j} +\frac {k_{1}}{2})</math><br>
<math> k_{3} = h (v_{i,j} +\frac {k_{2}}{2})</math><br>
<math> k_{4} = h (v_{i,j} + k_{3})</math><br>

<math> F = w^{2}(x_{i,j+1} -2 x_{i,j} + x_{i,j-1})</math><br>

===Первая задача: граничные условия===

Фиксированные граничные условия:

<math> v_{i+1,1} = 0</math><br>

<math> v_{i+1,N} = 0</math><br>

<math> x_{i+1,1} = 0</math><br>

<math> x_{i+1,N} = 0</math><br>


Свободные граничные условия:

<math> v_{i+1,1} = v_{i,1} + w^2 (x_{i,2} - x_{i,1})\Delta t</math><br>

<math> v_{i+1,N} = v_{i,N} + w^2 (x_{i,N - 1} - x_{i,N})\Delta t</math><br>


Периодические граничные условия:

<math> v_{i+1,1} = v_{i,1} + w^2 (x_{i,2} - 2x_{i,1} + x_{i,N})\Delta t</math><br>

<math> v_{i+1,N} = v_{i,N} + w^2 (x_{i,N - 1} - 2x_{i,N} + x_{i,1})\Delta t</math><br>

===Первая задача: дополнительные данные===

Коэффициент упругости: 
<math> c = 1.</math><br>

Масса:
<math> m = 1.</math><br>

Полное время:
<math> T = 1000.</math><br>

Частице под номером 5 задавали перемещение равное 1.

===Первая задача: результат===

Метод Верле с фиксированными границами c шагом 0.1:

[[File:Nomber1VfixedAll.gif]]
[[File:Фиксированные.jpg]]


Метод Верле со свободными границами c шагом 0.1:

[[File:Nomber1Vfree.gif]]
[[File:Свободные.jpg]]


Метод Верле с периодическими граничными условиями c шагом 0.1:

[[File:Nomber1Vperiod.gif]]
[[File:Периодичные.jpg]]


Метод Рунге-Кутта 4 порядка с фиксированными границами c шагом 0.01 (c большим шагом полная энергия быстро растет):

[[File:Namber1rkFixedAll.gif]]
[[File:ФиксированныеРК.jpg]]


Метод Рунге-Кутта 4 порядка со свободными границами c шагом 0.01 (c большим шагом полная энергия быстро растет):

[[File:Namber1rkFreeAll.gif]]
[[File:СвободныеРК.jpg]]


Метод Рунге-Кутта 4 порядка с периодическими граничными условиями c шагом 0.01 (c большим шагом полная энергия быстро растет):

[[File:Namber1rkPeriod.gif]]
[[File:ПериодичныеРК.jpg]]

==Вторая задача==

===Вторая задача: решение===
Уравнение движения частицы в потенциальной яме Леннарда-Джонса: 

<math> v_{i+1} = v_i +  F_{r}(x_i)\Delta t </math><br>
<math> x_{i+1} = x_i + v_i  \Delta t </math><br>

Где

<math> F_{r}(x_i) = \frac{12D(-(\frac{a}{x})^{13} + (\frac{a}{x})^{7})}{a}</math><br>

===Вторая задача: дополнительные данные===

Начальное положение частицы: 
<math> x = 1.2.</math><br>

===Вторая задача: результат===

Случай первый, когда частица вылетает. Движение частицы в потенциальной яме Леннарда-Джонса с начальной скоростью 
<math> v = 1.0:</math><br>

[[File:Animation1 2.gif]]


Случай второй, когда частица не вылетает. Движение частицы в потенциальной яме Леннарда-Джонса с начальной скоростью 
<math> v = 0.6:</math><br>
[[File:Ezgif.com-gif-maker (1).gif]]

== См. также ==

*[[Курсовые_работы_по_ВМДС:_2019-2020 | Курсовые работы 2019-2020 учебного года]]