Редактирование: "Одномерная линейная цепочка"

'''''Курсовой проект по [[Механика дискретных сред|Механике дискретных сред]]'''''

'''Исполнитель:''' [[Кравченко Ирина]]

'''Группа:'''  3630103/60101

'''Семестр:''' осень 2019

==Постановка задачи==
1) Сравнить различные методы интегрирования уравнений движения одномерной линейной цепочки (Верле, Рунге-Кутта).
Реализовать фиксированные, свободные и периодические граничные условия.

2) Рассмотреть движение частицы в потенциальной яме Леннарда-Джонса: численно определить скорость диссоциации.

==Первая задача: решение==
Уравнение движения: 

<math> \dot{v} = w^2 (x_{i+1} - 2x_{i} + x_{i-1}) </math><br>
<math> \dot{x} = v </math><br>

===Первая задача: метод Верле===
<math> v_{i+1} = v_i + w^2 (x_{i+1} - 2x_{i} + x_{i-1})\Delta t </math><br>
<math> x_{i+1} = x_i + v_{i+1}\Delta t </math><br>


===Первая задача: метод Рунге-Кутта 4 порядка===
<math> v_{i+1} = v_i + \frac {g_1 + 2g_2+2g_3+g_4}{6}</math><br>
<math> x_{i+1} = x_i + \frac {k_1 + 2k_2+2k_3+k_4}{6}</math><br>

Где

<math> v_{i+1} = v_i + \frac {g_1 + 2g_2+2g_3+g_4}{6}</math><br>

===Первая задача: дополнительные данные===

Коэффициент упругости: 
<math> c = 1.</math><br>

Масса:
<math> m = 1.</math><br>

Частице под номером 5 задавали перемещение равное 1.

===Первая задача: результат===

Метод Верле с фиксированными границами:

[[File:Nomber1VfixedAll.gif]]

Метод Верле со свободными границами:

[[File:Nomber1Vfree.gif]]

Метод Верле с периодическими граничными условиями:

[[File:Nomber1Vperiod.gif]]

Метод Рунге-Кутта 4 порядка с фиксированными границами:

[[File:Namber1rkFixedAll.gif]]

Метод Рунге-Кутта 4 порядка со свободными границами:

[[File:Namber1rkFreeAll.gif]]
[[File:RkFreeAll.jpg]]

Метод Рунге-Кутта 4 порядка с периодическими граничными условиями:

[[File:Namber1rkPeriod.gif]]
[[File:RkPeriod.jpg]]

==Вторая задача: решение==
Уравнение движения частицы в потенциальной яме Леннарда-Джонса: 

<math> v_{i+1} = v_i +  F_{r}(x_i)\Delta t </math><br>
<math> x_{i+1} = x_i + v_i  \Delta t </math><br>

Где

<math> F_{r}(x_i) = \frac{12D(-(\frac{a}{x})^{13} + (\frac{a}{x})^{7})}{a}</math><br>