Редактирование: Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна"

Проект выполняет [[Мурачёв Андрей]], научный руководитель [[А.М.Кривцов]].

==Введение==
Рассматривается модель протопланетного облака, состоящего из пыли и газа, образовавшегося засчет испарения пылинок. Плотность вещества в протопланетном диске превышает  
<math>10^{-18} g/cm^3</math>, размеры частиц космической пыли составляют около 0,1 мкм . Газопылевой диск вокруг формирующейся звезды очень быстро "сплющивается" под действием сил гравитации и центробежной силы, направленных к наиболее плотной части диска в плоскости его вращения. Спустя несколько сотен тысяч лет диск имеет массу около 0,1 Масс Солнца, размеры от 0,2 до 50-70 а.е. и толщину около 0,001 диаметра. Размеры пылевых частиц увеличиваются в результате слипания до 10 мкм; их орбиты становятся почти круговыми. Акустические ударные волны, распространяющиеся в облаке при сжатии протозвездного сгустка вещества и возгорании молодой звезды, способствуют возникновению неоднородностей в диске.

Современные астрофизические модели химической конденсации предполагают, что исходный состав протопланетного облака был близок к составу межзвездной среды и Солнца: по массе до 75% водорода, до 25% гелия и менее 1% всех прочих элементов.

Температура в центральной плоскости протопланетного диска Солнечной системы уменьшалась с удалением от Солнца. Особенно сильно нагревалась ближайшая к звезде "горячая" зона облака: на расстоянии в 1 а.е. температура составляла 300-400 К.

Я пренебрегаю некоторыми важными деталями для облегчения расчёта и упрощения модели.
Далее планируется их все,по возможности, учесть. 
В частности:

1. В протооблаке присутствует газ, помимо испарившегося с пылинок. Его влияние не рассматривается, так как считается, что он весь вытеснен солнечным излучением.

2. Пока непонятна степень оптической прозрачности облака, которая зависит от концентрации и сорта частиц. А именно она оказывает решающие влияние на испарение пылинок. Я считаю облако полностью прозрачным, что, естественно неправда.

4. Соударения между пылинками можно рассматривать, как абсолютно упругие. Хотя это тоже неправда.

==Диффузия от точечного источника==

Рассмотрим облако состоящие из небольших шариков, находящихся во взвешенном состоянии. Обозначим их частицами с концентрацией <math></math>,
Теперь, пусть один какой-нибудь шарик начнёт испарятся-излучать равномерно частицы с концентрацией <math>n</math>, пренебрежительно малых размеров. Напишем уравнение диффузии:

<math>
\frac{\partial n}{\partial t} - D\triangle n= \dot N\delta^3(r)
</math>

, где <math>n(r,t)</math> -концентрация частиц второго сорта на расстоянии <math>r</math> от излучающей частицы в некоторый момент времени <math>t</math>, <math> D =\frac 13 lv=\frac{v}{3(n\sigma_{n}+w\sigma_{w})}</math> - коэффициент диффузии (<math>\sigma</math>- сечение взаимодействия пылинок) (В выражении для <math>D</math> можно спокойно пренебречь членом, вносящим нелинейность во все последующие рассуждения-<math>n\sigma_{n}</math>. В данной модели газ пылинок довольно разрежен, и соударения между пылинками редки, но газ молекул в свою очередь должен быть ещё более разрежен и на собственную диффузию не оказывать какого-либо заметного влияния. Поэтому <math> D =\frac 13 lv=\frac 13\cdot\frac{v}{w\sigma_{w}}</math> , <math> \dot N </math>-количество частиц, оторвавшихся с единицы поверхности пылинки за единицу времени [<math>1\backslash</math> сек].

Процесс в нашем случае стационарный, поэтому первое слагаемое в левой части равно 0. Плюс ко всему, избавляемся от дельта-функции.

<math>
-D\frac{dn}{dr}\cdot 4\pi r^2=\dot N              
</math>

Проинтегрируем по <math>r</math> и найдём, что в устоявшемся процессе концентрация частиц сорта <math>n</math> распределена по пространству таким вот образом:

<math>
n(r)=\frac{\dot N}{4\pi rD},r>0....................[1]           
</math>

==Случай дискообразного протопланетного облака==
Выделим в облаке окружность с центром в точке (0,0) некоторого радиуса <math>r</math>. Концентрация молекул газа, а следовательно и оказываемое ими давление в силу симметрии будет одинаковым. Найдём эту концентрацию: Сначала учтём вклад "внутренней" области выделенной окружности. Представим ещё одну сферу радиуса <math>a</math>, где <math>a<r</math> и найдём влияние этой сферы на бесконечно маленький объём <math>G</math> на сфере радиуса <math>r</math>. Для этого, очевидно надо воспользоваться формулой  [1], где <math>r</math> пробегает по всем расстояниям (с каждой точки поверхности сферы до G).

<math>L</math>-расстояние от точки <math>G</math> до точек правой полуокружности.

<math>\alpha</math>-угол между радиус-вектором <math>r</math> и радиусом <math>a</math>

Смотри рисунок  '''internal.'''

Легко сообразить для левой полуокружности:

<math>L_1=\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos (\alpha+3\frac\pi2)}=\sqrt{r^2+a^2+2ra\cos \alpha}</math>

и

<math>L_2=\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos (\frac \pi2 +\alpha) }=\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos (\alpha) }</math><math>Вставьте сюда формулу</math>

для правой.

Интегрирование по <math>L</math> сводится к интегрированию по <math>\alpha</math> от 0 до <math>\frac \pi 2</math> для "верхнего левого" и "нижнего правого" сектора. А потом результат удваивается.


<math>n(r)_{internal}=2\int_0^r da \left(
\int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha
\frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos \alpha}}+
\int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha
\frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2+2ra\cos \alpha}}\right)</math>


Теперь можно оценить вклад внешних слоёв на наш выделенный объём G .
Смотри рисунок '''external'''. Можно заметить, что тут всё то же самое, что и в предыдущем примере, лишь точка <math>G</math> <<переехала>> с одного конца отрезка на другой, а <math>a</math> и <math>r</math> поменялись местами. Поэтому повторяя предыдущие рассуждения, можно записать


<math>n(r)_{internal}=2\int_r^R da \left(
\int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha
\frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos \alpha}}+
\int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha
\frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2+2ra\cos \alpha}}\right)</math>


Тогда влияние вклад в концентрацию от испарений всего облака будет


<math>n(r)=n(r)_{external}+n(r)_{internal}=</math>


<math>2\int_0^R da \left(
\int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha
\frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos \alpha}}+
\int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha
\frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2+2ra\cos \alpha}}\right)</math>


Значение концентрации пылинок

<math>w(a)=\sqrt{1-\frac{a^2}{R^2}}</math>


Согласно (Gradshteyn) и т.к. для любых <math>a>0</math> и <math>r>0</math> <math>(a^2+r^2)^2>(2ra)^2</math>


<math>\int \frac {d\alpha} {\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos \alpha}}= \frac{2}{\sqrt{(a^2+r^2)^2-(2ra)^2}}\cdot arctg \frac{(a^2+r^2-2ra)tg(\alpha/2)}{\sqrt{(a^2+r^2)^2-(2ra)^2}}</math>................[2]


и

<math> \int \frac {d\alpha} {\sqrt{r^2+a^2+2ra\cos \alpha}}= \frac{2}{\sqrt{(a^2+r^2)^2-(2ra)^2}}\cdot arctg \frac{(a^2+r^2+2ra)tg(\alpha/2)}{\sqrt{(a^2+r^2)^2-(2ra)^2}}</math>................[3]


Значение интеграла [2] на пределах от 0 до <math>\frac \pi 2</math>  равно

<math>\cfrac{2 arctg\left( \cfrac{a^2+r^2-2ra}{|a^2-r^2|}\right)}{|a^2-r^2|}</math>


Значение интеграла [3] соответственно

<math>\cfrac{2 arctg\left( \cfrac{a^2+r^2+2ra}{|a^2-r^2|}\right)}{|a^2-r^2|}</math>


Перепишем для удобства [main]


<math>
n(r)=2\int_0^R da \cdot \frac{\dot N}{4\pi D} \cdot n_1(a) \left(\cfrac{2 arctg\left( \cfrac{a^2+r^2-2ra}{|a^2-r^2|}\right)}{|a^2-r^2|}+ \cfrac{2 arctg\left( \cfrac{a^2+r^2+2ra}{|a^2-r^2|}\right)}{|a^2-r^2|}  \right)=
</math>

<math>
=2\int_0^R da \cdot \frac{\dot N}{4\pi D} \cdot \sqrt{1-\frac{a^2}{R^2}} \left(\cfrac{2 arctg\left( \cfrac{a^2+r^2-2ra}{|a^2-r^2|}\right)}{|a^2-r^2|}+ \cfrac{2 arctg\left( \cfrac{a^2+r^2+2ra}{|a^2-r^2|}\right)}{|a^2-r^2|}  \right)
</math>


На самом деле

<math>D=D(r)=\frac{v(r)}{3\cdot n_1(r)\sigma_1}</math>


Зависимостью <math>v</math> от <math>r</math> можно пренебречь, так как на самом деле <math>v</math> зависит <math>T(r)</math>, а перепад температуры мы считаем пока незначительным.


<math>
n(r)=6\int_0^R da \cdot \frac{\dot N \sigma}{4\pi v} \cdot \left(1-\frac{a^2}{R^2}\right) \left(\cfrac{2 arctg\left( \cfrac{a^2+r^2-2ra}{|a^2-r^2|}\right)}{|a^2-r^2|}+ \cfrac{2 arctg\left( \cfrac{a^2+r^2+2ra}{|a^2-r^2|}\right)}{|a^2-r^2|}  \right)
</math>


От модуля мы избавляться не будем (в основном, чтоб избежать неопределённостей при <math>a=r</math>. Значение интеграла в этом случае определяется из нормировки, это константа, а нам сейчас интересен общий вид функции). Посчитаем значение интеграла с модулем.
т.к.

<math>
arctg\left(\cfrac{a^2+r^2-2ra}{|r^2-a^2|}\right)+ arctg \left( \cfrac{a^2+r^2+2ra}{|r^2-a^2|}\right)=\frac{\pi}{2}
</math>

И


<math>n(r)=\frac32 \cdot\frac{\dot N \sigma }{v R^2}\int_0^r \frac{R^2-a^2}{|r^2-a^2|}da</math>


Посчитаем интеграл

<math>\int \frac{R^2-a^2}{|r^2-a^2|}da=signum(a-r)\cdot\left(-a+\frac{R^2-r^2}{2r}ln\frac{a-r}{a+r}\right)</math>


В приделах от 0 до <math>R</math> это выражение будет равно:

<math>\int^R_{0} \frac{R^2-a^2}{|r^2-a^2|}da=R-\frac{R^2-r^2}{2r}ln\frac{R-r}{R+r}</math>

Таким образом:

<math>n(r)=\frac32 \cdot\frac{\dot N \sigma }{v R^2}\cdot\left(R-\frac{R^2-r^2}{2r}ln\frac{R-r}{R+r} \right)</math>


Далее интересно посмотреть на график полученной функции.

<math>n(r)\sim-\frac{R^2-r^2}{2rR^2}ln\frac{r+R}{r-R}</math>

Обозначим <math>x=r/R</math>, Тогда

<math>n(r)\sim-\frac{1-x^2}{x}ln\frac{1+x}{1-x}</math>

То, что получилось, можно увидеть на рисунке '''Gas'''
Не стоит пугаться параболического вида этой функции. Интуитивно хочется видеть, что-то подобное гиперболы. Но на самом деле, если сравнить законы распределения пыли и газа, то можно увидеть некое сходство в графическом изображении функций, что косвенно доказывает верность результатов.

==Уравнение равновесия.==

Для нашего облака сила гравитационного "самопритяжения", должна быть уравновешенна некими другими силами. Очевидно это будет сила давления газа и центробежная сила вращения облака. 

<math>{\bf F_{grav}=F_c+F_{press}}</math>

<math>\frac{Gm(r)}{r^2}=\frac{m(r)v^2}{r}+\frac{dP}{dr} \frac{1}{\rho(r)}</math>

Второе слагаемое правой части самое важное в данном контексте. Выражение для давления состоит из двух частей: Давление газового облака (напомню, именно оно должно давать основной вклад в массу) и давления испарений. 
Газ, в силу разреженности можно считать идеальным.

==Испарение пылинок в вакуум==
Интенсивность испарения [<math>g/cm^2\cdot sek</math>] определяется формулой Ленгмюра.

<math>
\nu=11,69 p^* \sqrt{\frac{\mu}{T}}
</math>

,где

<math>p^*</math>-давление насыщенного пара данного вещества, Па.

<math>\mu</math>-молекулярная масса вещества

<math>T</math>-Температура облака, K.

Эта формула  выведена для абсолютного вакуума, поэтому реальная скорость испарения в космическом пространстве будет меньше расчётной.

<math>
\dot m =4\pi r^3 \nu => \left(\frac{4}{3}\pi r^3 \rho \right)'=4\nu\pi r^3 => \dot r = \frac{\nu}{\rho}
</math>

Отсюда "время жизни" 
<math>t_l=\frac{r \rho}{\nu}</math>,
для льдинок диаметром 10 мкм эта величина ровна <math> 4.4 \cdot 10^{-5}</math> сек.

Можно сделать отсюда нижнюю оценку для диаметра частиц.  На самом деле "время жизни" пылинки <math>t_l</math> должно быть больше [http://www.femto.com.ua/articles/part_1/1107.html времени свободного пробега] <math>\tau</math> этой пылинки. Это очень грубо, но для первых оценок вполне достаточно.

<math>\tau=\frac{\sqrt{2}}{8\pi} \frac{1}{n_{1}d^2v}</math> ,

где 

<math>v</math>- средняя скорость пылинок,

<math>d</math> -диаметр пылинок.

Сравнивая эту формулу с 
выражением для "времени жизни" пылинки находим

<math>d^3> \frac{\sqrt{2}}{4\pi} \frac{\nu}{\rho n_1 v}</math>

[http://www.fptl.ru/spravo4nik/davlenie-vodyanogo-para.html Давление насыщенного пара воды] при <math>30^o C</math> равно 
4.2455 кПа.

[http://ru.wikipedia.org/wiki/Лёд Плотность льда] равна 0,917 г/см³

[http://ru.wikipedia.org/wiki/Молекулярная_масса Молекулярная масса воды] равна 18 а. е. м.

Теперь остался главный вопрос о концентрации и скорости пылинок.
 
----

Ссылка на презентацию [[Медиа:Некоторые_замечания_по_модели_образования_системы_Земля-Луна_в.pptx]]


[[Category: Студенческие проекты]]