Редактирование: Моделирование падения вдвое сложенной цепочки

'''''Курсовой проект по [[Введение в механику дискретных сред|Введению в механику дискретных сред]]'''''

'''Исполнитель:''' [[Свередюк Евгений]]

'''Группа:'''  5030103/90101

'''Семестр:''' осень 2022

==Математическая модель==

==Постановка задачи==
Задача о сложенной вдвое цепочки. Цепочка состоит из частиц, соединённых линейными пружинками в 2D. Цепочка находится в поле силы тяжести, один из концов закреплен, второй свобооден. Требутся исследовать зависимость ускорения крайней свободной частицы от времени.

===Математическая модель ===
Закон движения:

<math>
   m\underline{\ddot{r}}_i(t)=\underline{F}_{R_1}+\underline{F}_{R_2} + \underline{F}_{g}\\
   \underline{r}_i(0)=\underline{r}_i^0,~\underline{v}_i(0)=0~~~i=1,\ldots,n
</math>

где 
<math>
   \underline{F}_{R_1}, \underline{F}_{R_2}\\
</math> - силы упругости действующие на <math>i</math>-ую частицу со стороны <math>i-1</math> и <math>i+1</math> соответственно, а <math> \underline{F}_{g}=-mg\underline{k} \\  </math> - сила тяжести.

Сила упругости, возникающая в пружине соединяющей частицу 1 и 2, вычисляется по следующей формуле:

<math>
   \underline{F}_{R}= c(||\underline{r}_2-\underline{r}_1|| - l_0)\frac{(\underline{r}_2-\underline{r}_1)}{||\underline{r}_2-\underline{r}_1||}
</math>,  где <math>c</math> - коэффициент жесткости пружины.

Интегрирование по времени производится явной схемой интегрирования методом Верле:

<math> \begin{cases}
V_{i+1} = V_i+\frac{F_i}{m}\Delta{t}\\
X_{i+1} = X_i+V_{i+1}\Delta{t}
\end{cases} </math>