Редактирование: Моделирование упругого столкновения шарика об стенку

'''''Курсовой проект по [[Механика дискретных сред|Механике дискретных сред]]'''''

'''Исполнитель:''' [[Логинов Александр]]
'''Группа:'''  5030103/80101


'''Семестр:''' осень 2021

== Постановка задачи ==

Требуется смоделировать удар воздушного шарика о твердую стенку в двумерной постановке. Воздушный шарик представляет из себя оболочку, состоящую из материальный точек, каждая из которых соединена пружиной. Отскакивание воздушного шара от стенки моделируется при помощи потенциала Ленарда-Джонса.

==Математическая модель==

Давление рассчитывается по следующей формуле:

<math>P = k(\frac{V_0}{V} - 1)</math>

Площадь шара вычисляется при помощи формулы площади Гаусса, позволяющей вычислить площадь произвольного многоугольника:

<math>\begin{align}
 \mathbf{S} &= \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n-1} x_i y_{i+1} + x_n y_1 - \sum_{i=1}^{n-1} x_{i+1} y_i - x_1 y_n \right| = \\
            &= \frac{1}{2} |x_1 y_2 + x_2 y_3 + \dots + x_{n-1} y_n + x_n y_1 - x_2 y_1 - x_3 y_2 - \dots - x_n y_{n-1} - x_1 y_n|,
\end{align}</math>

Взаимодействие частиц со стенкой реализовано с помощью потенциала Леннарда-Джонса:

<math>
U(r) = 4\varepsilon \left[ \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{12} - \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{6} \right],
</math>