Редактирование: "Численные методы интегрирования уравнений движения для одномерной линейной цепочки и частицы в потенциальной яме Леннарда-Джонса"

'''''Курсовой проект по [[Механика дискретных сред|Механике дискретных сред]]'''''

'''Исполнитель:''' [[Троцкая Валерия]]

'''Группа:''' 3630103/60101

'''Семестр:''' осенний семестр 2019-2020 учебного года

==Постановка задачи:== 
# Сравнить различные методы интегрирования уравнений движения (Верле, Рунге-Кутта 4 порядка). Реализовать фиксированные, свободные и периодические условия
# Численно определить скорость диссоциации частицы в потенциальной яме Леннарда-Джонса

==Теоретическая сводка:==
==== 1. Одномерная линейная цепочка ====

Рассмотрим модель колебаний одинаковых атомов массой m, находящихся в одномерной цепочке. Пусть в этой цепочке находится N атомов, связанных между собой квазиупругой силой с коэффициентом упругости k.

[[Image:Изображение22331.png|top]]

Если учитывать взаимодействие только соседних атомов, уравнение движения можно записать в следующем виде:

[[Image:Изображение22333.png|top]]


Для решения уравнения движения воспользуемся численными методами интегрирования:

а. Метод Верле

[[Image:Изображение151.png|top]]

Введем обозначения:

[[Image:Изображение1512.png|top]]

Тогда для численной реализации удобно записать:

[[Image:Изображение1513.png|top]]


б. Метод Рунге-Кутта 4 порядка

[[Image:Изображение22334.png|top]]

[[Image:Изображение22335.png|top]]

[[Image:Изображение22336.png|top]]

[[Image:Изображение22337.png|top]]

[[Image:Изображение22338.png|top]]

[[Image:Изображение22339.png|top]]

[[Image:Изображение223310.png|top]]

[[Image:Изображение223311.png|top]]

[[Image:Изображение223312.png|top]]

[[Image:Изображение223313.png|top]]

[[Image:Изображение223314.png|top]]

[[Image:Изображение223315.png|top]]


Для каждого из методов реализуются 3 вида граничных условий: 

* Фиксированные граничные условия

[[Image:Изображение223316.png|top]]

[[Image:Изображение223317.png|top]]

[[Image:Изображение223318.png|top]]

[[Image:Изображение223319.png|top]]

* Свободные граничные условия

[[Image:Изображение223320.png|top]]

[[Image:Изображение223321.png|top]]

* Периодические граничные условия

[[Image:Изображение223322.png|top]]

[[Image:Изображение223323.png|top]]

Случай с закрепленными краями:

[[Image:Изображение155100.png|top]]

Случай с периодическими граничными условиями:

[[Image:Изображение1551p.png|top]]

Случай со свободными краями:

[[Image:Изображение1551f.png|top]]

Распределение энергии:

[[Image:Изображение1551.png|top]]

====2. Частица в потенциальной яме Леннарда-Джонса ====

Уравнение движения частицы в потенциальной яме Леннарда-Джонса:

[[Image:Изображение223324.png|top]]

[[Image:Изображение223325.png|top]]

[[Image:Изображение223326.png|top]]

Скоростью диссоциации будем называть скорость, которую необходимо сообщить частице, чтобы она улетела на бесконечность.

[[Image:Изображение223327.png|top]]

[[Image:Изображение2331.PNG|top]]

==Вывод:==
* Были реализованы различные методы интегрирования уравнения движения одномерной линейной цепочки. Заметим, что метод Верле является симплектическим и сохраняет энергию, в то время как метод Рунге-Кутта энергию не сохраняет.
* Была численно найдена скорость диссоциации частицы в потенциальной яме Леннарда-Джонса, которая с заданной точностью совпала с теоретическим значением.