Редактирование: Динамическая потеря устойчивости цепочки частиц, соединенных линейными пружинами и имеющими изгибную жесткость

'''''Курсовой проект по [[Механика дискретных сред|Механике дискретных сред]]'''''

'''Исполнитель:''' [[Барсуков Севастьян]]

'''Группа:'''  3630103/60101

'''Семестр:''' осень 2019


==Постановка задачи==
Исследовать динамическую потерю устойчивости цепочки частиц, соединенных линейными пружинами и имеющими изгибную жесткость при различных начальных отклонениях,
а также при различных скоростях последней частицы.

==Построение модели==
В данной работе моделирование цепочки проводится методом динамики частиц.

Уравнение движения: 
<math> m\bar{a} = \bar{F_c} + \bar{F_s} </math><br>

===Метод решения===
Для решения задачи использовался метод Верле (leapfrog):

<math>  a_i = F(x_i), </math><br>
<math>  v_{i+\frac {1}{2}} = v_{i-\frac {1}{2}} + a_i dt, </math><br>
<math>  x_{i+1} = x_{i} + v_{i+\frac {1}{2}} dt</math>

===Начальные условия===
 
Частицы обладают случайными начальными вертикальными смещениями:<br>
<math>y_i = y_{rand}</math><br> <math>y_0 = 0</math><br> <math>y_n = 0</math> <br>

===Граничные условия===

Левый конец цепочки закреплен, правому задана постоянная скорость.<br>
<math>u_0 = 0</math><br> <math>u_n = -v</math><br>

===Параметры системы===
Для проведения моделирования задаются следующие параметры:
масса частиц <math> m=1</math>, жесткость угловой пружины <math> C_s=1</math>,  количество частиц в цепочке <math> n=10</math>, равновесная длина пружины <math>{\pmb a_{0}=0}</math>. Остальные параметры системы выражаются через данные.

===Взаимодействия в системе===
В системе имеется два типа взаимодействия:<br>
1. Потенциал линейной пружины: <br>
Частицы соединены линейной пружиной:<br>
<math>П_k= \frac {k(r)^2}{2}</math><br>
где k - линейная жесткость пружины; r – расстояние между частицами. <br>
2. Потенциал угловой пружины:<br>
[[Файл:2016-06-19 20-15-47.png|200px|thumb|right|Рис.1 Угловая пружинка]]
Частицы соединены угловой пружиной, как показано на рис. 1:<br>
<math>П_s= \frac {c_s(φ-π)^2}{2}</math><br>
где Cs – жесткость, φ – угол образованный 2-мя соседними связями.<br>

==Модель==
В данной программе в начальный момент времени задаются:
*<math>{\frac{\pmb k}{\pmb C_{s}}}</math> - отношение жесткости линейной пружины к угловой пружине
*<math>{\frac{\pmb y_{i}}{\pmb a_{0}}}</math> - отношение начального вертикального смещения к равновесной длине пружины (в процентах)
*<math>{\frac{\pmb v}{\pmb v_{s}}}</math> - отношение скорости правой частицы к <math>{\pmb v_{s}}={\pmb a_{0}}*\sqrt{\frac{\pmb C_{s}}{\pmb m}}</math>
*Возможность придания скорости левой частице

{{#widget:Iframe|url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/VaraevV/Barsik/HTMLfile2.html|width=850|height=850|border=0}}

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%" >
'''Текст программы на языке JavaScript:'''
<div class="mw-collapsible-content">
<syntaxhighlight lang="javascript" line start="1" enclose="div">
window.addEventListener("load", program_code, false);
function program_code() {
	var ctx = canvas_example.getContext("2d");
	var w = canvas_example.width;
	var h = canvas_example.height;
    ctx.strokeRect(0,0,w,h);
	//var ctx1 = canvas_example1.getContext("2d");
	//var w1 = canvas_example1.width;
	//var h1 = canvas_example1.height;
    //ctx1.strokeRect(0,0,w1,h1);
	
	var v0 = 10; //Скорость правого шарика
	var v01 = 0; //Скорость левого шарика
	var m = 10; //Масса шарика
	var ht = 20; //параметр рисования
	var htt = 40; //параметр рисования                          
	var Cs = 10000; //Жесткость на изгиб       
	var rad = 5; //Радиус шариков
	var dt = 0.01;
	var tt = 0; // Время
	var dy=document.getElementById('r3'); //Начальные смещения по оси y, задаваемые пользователем
	var ppp2=document.getElementById('text3'); 
	ppp2.innerHTML=dy.value;
	dy.oninput = function() {
		ppp2.innerHTML="<"+dy.value;
		for (var i=0;i<u_len;i++){
			Yt[i] = dy.value*Math.random()+h/2;
		}
		Yt[0] = h/2;
		Yt[u_len-1] = h/2;
		r_ = [Xt,Yt];
		defaultdraw();
	}
	var F_ = [0,0];
	var pp = [0,0];
	var FF = [];
	var	v = [[v01,0,0,0,0,0,0,0,0,v0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0]]; //массив скоростей
	var	kk = -5; //Жесткость пружины
	var Xt = [w/11,2*w/11,3*w/11,4*w/11,5*w/11,6*w/11,7*w/11,8*w/11,9*w/11,10*w/11]; //начальные положения частиц по оси X
	var	u_len = Xt.length;
	var	Yt = []; //Начальные смещения по оси y
	for (var i=0;i<u_len;i++){
		Yt[i] = 1*Math.random()+h/2;
	}
	Yt[0] = h/2; //Граничные условия
	Yt[u_len-1] = h/2;
	var	r_ = [Xt,Yt]; //Вектор перемещений
	var	r12_ = [[0,0,0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,0,0]]; //Вектор между частицами
	var	r12 = [0,0,0,0,0,0,0,0,0]; //Модуль вектора перемещений

	// Рисование в начальном положении
	function defaultdraw(){
		ctx.clearRect(0,0,w,h);
		ctx.strokeRect(0,0,w,h);
		for (var i=0;i<u_len;i++){
			ctx.beginPath();
			ctx.arc(Xt[i],Yt[i],rad,0,Math.PI*2);
			ctx.fill();
		}
        for (var i=0;i<u_len-1;i++){
            var x_st = r_[0][i]
            var y_st = r_[1][i]
            var x_end = r_[0][i+1]
            var y_end = r_[1][i+1]
            var l = r_[0][i+1] - r_[0][i];
            var ly = r_[1][i+1] - r_[1][i]
            ctx.beginPath();
            ctx.bezierCurveTo(x_st, y_st, x_st + l / 4, y_st + ly / 4 +  ht, x_st + l / 2, y_st + ly / 2);
            ctx.bezierCurveTo(x_st + l / 2, y_st + ly / 2, x_st + 3 * l / 4, y_st + 3 * ly / 4 - ht, x_st + l, y_st + ly);			
            ctx.stroke();
		}
		for (var i=0;i<u_len-2;i++){
            var x_st = r_[0][i]
            var y_st = r_[1][i]
            var x_end = r_[0][i+1]
            var y_end = r_[1][i+1]
			var x_end_end = r_[0][i+1]
			var y_end_end = r_[1][i+1]
            var l = r_[0][i+1] - r_[0][i]
            var ly = r_[1][i+1] - r_[1][i]
			var l1 = r_[0][i+2] - r_[0][i+1]
            var ly1 = r_[1][i+2] - r_[1][i+1]
            ctx.beginPath();
			ctx.bezierCurveTo(x_st+l/2, y_st+ly/2, x_st + l, y_st+ly+htt , x_st+l + l1/2, y_st +ly+ ly1/2);
			ctx.stroke();
        }
	}
	defaultdraw();

		var Css=document.getElementById('r1'); //Задаваемая угловая жесткость
		var ppp=document.getElementById('text'); 
		var k1=document.getElementById('r2'); //Задаваемая жесткость
		var ppp1=document.getElementById('text2'); 
		ppp.innerHTML=Css.value;
		ppp1.innerHTML=-k1.value;
		Css.oninput = function() {
			ppp.innerHTML=Css.value;
		}
		k1.oninput = function() {
			ppp1.innerHTML=-k1.value;
		}
		
	// Физический модуль	
	function physics() {
		chbox=document.getElementById('one'); // Будет ли скорость у левой частицы
		if (chbox.checked) {
			v01 = v0
		}
		else {
			v01 = 0
		}
		
		Cs = Css.value
		kk = k1.value
		for (var i=0;i<u_len-1;i++){         
			r12_[0][i] = r_[0][i+1]-r_[0][i];
			r12_[1][i] = r_[1][i+1]-r_[1][i];
		}
		for (var i=0;i<u_len-1;i++){        
			r12[i] = Math.sqrt(r12_[0][i]*r12_[0][i]+r12_[1][i]*r12_[1][i]);
		}
		f = []
		for (var i=0;i<2;i++){
			f[i] = []
			for (var j=0;j<u_len;j++){
				f[i][j] = 0
			}
		}
		for (var i=0;i<u_len-2;i++){
			F_[0] = kk*((w/(u_len+1))-r12[i])*(r12_[0][i]/r12[i])
			F_[1] = kk*((w/(u_len+1))-r12[i])*(r12_[1][i]/r12[i])
			
			etta = -(r12_[0][i]*r12_[0][i+1]+r12_[1][i]*r12_[1][i+1]) / ( r12[i]*r12[i+1] );  			
			phi = Math.acos(etta);                                                   
			Fp = [0,0];                                                                    
			Fn = [0,0];                                                                
			F = [0,0];
			if (phi != Math.PI){
				koef = Cs * (Math.PI - phi)/(Math.sqrt(1-etta*etta) * r12[i] * r12[i+1]);
				A = [[ 1 - Math.pow(r12_[0][i]/r12[i],2), -r12_[0][i]*r12_[1][i]/(r12[i]*r12[i])], [-r12_[0][i]*r12_[1][i]/(r12[i]*r12[i]), 1 - Math.pow(r12_[1][i]/r12[i],2) ]];
				B = [[ 1 - Math.pow(r12_[0][i+1]/r12[i+1],2), -r12_[0][i+1]*r12_[1][i+1]/(r12[i+1]*r12[i+1])],[ -r12_[0][i+1]*r12_[1][i+1]/(r12[i+1]*r12[i+1]), 1 - Math.pow(r12_[1][i+1]/r12[i+1],2) ]];
				Fp = [-koef*(r12_[0][i+1]*A[0][0]+r12_[1][i+1]*A[1][0]),-koef*(r12_[0][i+1]*A[0][1]+r12_[1][i+1]*A[1][1])];
				Fn = [koef*(r12_[0][i]*B[0][0]+r12_[1][i]*B[1][0]),koef*(r12_[0][i]*B[0][1]+r12_[1][i]*B[1][1])];
				F = [-Fn[0] - Fp[0],-Fn[1] - Fp[1]];
			}
			f[0][i] = f[0][i] + F_[0] + Fp[0];
			f[1][i] = f[1][i] + F_[1] + Fp[1];
			f[0][i+1] = f[0][i+1]-F_[0]+F[0];
			f[1][i+1] = f[1][i+1]-F_[1]+F[1];
			f[0][i+2] = f[0][i+2]+Fn[0];
			f[1][i+2] = f[1][i+2]+Fn[1];
		}
		pp[0] = kk*((w/(u_len+1))-r12[u_len-2])*(r12_[0][u_len-2]/r12[u_len-2])
		pp[1] = kk*((w/(u_len+1))-r12[u_len-2])*(r12_[1][u_len-2]/r12[u_len-2])
		f[0][u_len-2] = f[0][u_len-2] +pp[0];
		f[1][u_len-2] = f[1][u_len-2] +pp[1];
		f[0][u_len-1] = f[0][u_len-1]-pp[0];
		f[1][u_len-1] = f[1][u_len-1]-pp[1];
		for (var i=0;i<u_len-1;i++){
			v[0][i] = v[0][i] + (f[0][i]/m) * dt;  
			v[1][i] = v[1][i] + (f[1][i]/m) * dt;  
		}			
                    
    
		v[0][0] = v01;
		v[1][0] = 0;
		v[0][u_len-1] = -v0;
		v[1][u_len-1] = 0;
		for (var i=0;i<u_len;i++){
			r_[0][i] = r_[0][i] + v[0][i] * dt; 
			r_[1][i] = r_[1][i] + v[1][i] * dt; 
		}
	}
	//Модуль рисования
	function draw() {
		tt=tt+1
		// Условия остановки выполнения программы
		if ((tt>6300) && (v01==0)){
			clearInterval(tim)
		}
		if ((tt>3150) && (v01!=0)){
			clearInterval(tim)
		}		
		ctx.clearRect(0,0,w,h);
		ctx.strokeRect(0,0,w,h);
		// Рисование шариков
		for (var i=0;i<u_len;i++){
			ctx.beginPath();
			ctx.arc(r_[0][i],r_[1][i],rad,0,Math.PI*2);
			ctx.fill();
		}
		//if ((tt%10==0){
		FF.push(f[0][u_len-1])
		//}
		if (tt==60){
			console.log(JSON.stringify(FF))
		}
		// График силы
		//for (var i=0;i<u_len;i++){
		//	ctx1.beginPath();
		//	ctx1.arc(tt/10,-f[0][u_len-1]/10+h/2,1,0,Math.PI*2);
		//	ctx1.stroke();
		//}
      	ctx.beginPath();
        for (var i=0;i<u_len-1;i++){
            var x_st = r_[0][i]
            var y_st = r_[1][i]
            var x_end = r_[0][i+1]
            var y_end = r_[1][i+1]
            var l = r_[0][i+1] - r_[0][i];
            var ly = r_[1][i+1] - r_[1][i]
            ctx.beginPath();
            ctx.bezierCurveTo(x_st, y_st, x_st + l / 4, y_st + ly / 4 +  ht, x_st + l / 2, y_st + ly / 2);
            ctx.bezierCurveTo(x_st + l / 2, y_st + ly / 2, x_st + 3 * l / 4, y_st + 3 * ly / 4 - ht, x_st + l, y_st + ly);
            ctx.stroke();
		}
		for (var i=0;i<u_len-2;i++){
            var x_st = r_[0][i]
            var y_st = r_[1][i]
            var x_end = r_[0][i+1]
            var y_end = r_[1][i+1]
			var x_end_end = r_[0][i+1]
			var y_end_end = r_[1][i+1]
            var l = r_[0][i+1] - r_[0][i]
            var ly = r_[1][i+1] - r_[1][i]
			var l1 = r_[0][i+2] - r_[0][i+1]
            var ly1 = r_[1][i+2] - r_[1][i+1]
            ctx.beginPath();
			ctx.bezierCurveTo(x_st+l/2, y_st+ly/2, x_st + l, y_st+ly+htt , x_st+l + l1/2, y_st +ly+ ly1/2);
			ctx.stroke();
        }
      	ctx.closePath();		
	}
	// Контрольный модуль
	function control(){
	physics();
	draw();
	}
	var tim;
	// Функция остановки программы
	function go1(){
		clearInterval(tim);
	}
	// Функция работы программы
	function go(){
	clearInterval(tim); 
	control() ; 
	tim = setInterval(control,1000/60); 
	}
	button_aler.onclick=go //Кнопка старта
	button_aler1.onclick=go1 //Кнопка остановки
}
</syntaxhighlight>
</div>
</div>
==Результаты моделирования==
Графики зависимости обезрамеренной продольной силы <math>{\frac{\pmb F_{x}(t)}{\pmb F_{e}}}</math>, где <math>{\pmb F_{е}}</math> - Эйлерова критическая сила в статике, от времени <math>t</math> (от количества итераций) при различных значениях параметров построены в python по данным полученным из программы javascript.
*Как видно из графиков зависимости обезрамеренной продольной силы <math>{\frac{\pmb F_{x}(t)}{\pmb F_{e}}}</math> от времени <math>t</math> (от количества итераций) (Рис. 2 и Рис. 3) линейный участок роста продольной силы имеет наибольшую длину при малых начальных вертикальных смещениях. Следовательно критическая сила, при которой продольная сила перестает расти линейно и начинает уменьшаться, наступает для начального вертикального смещения "<math><1%</math>"относительно равновесной длины пружины <math>{\pmb a_{0}}</math> при большей силе, нежели при начальном смещении "<math><6%</math>" или "<math><11%</math>"относительно равновесной длины пружины <math>{\pmb a_{0}}</math>. 
*Из графиков зависимости обезрамеренной продольной силы <math>{\frac{\pmb F_{x}(t)}{\pmb F_{e}}}</math> от времени <math>t</math> (от количества итераций) (Рис. 4, Рис. 5 и Рис. 6) видно, что линейный участок роста продольной силы имеет наибольшую длину при большом значении скорости правой частицы. Это справедливо для любого начального вертикального смещения частиц. Следовательно критическая сила, при которой продольная сила перестает расти линейно и начинает уменьшаться, наступает для скорости правой частицы <math>{\frac{\pmb v}{\pmb v_{s}}=0.01}</math> при большей силе, нежели при скорости правой частицы <math>{\frac{\pmb v}{\pmb v_{s}}=0.005}</math> или <math>{\frac{\pmb v}{\pmb v_{s}}=0.001}</math>. 
[[Файл:K502.JPG|thumb|Рис.2 Зависимость продольной силы <math>{\frac{\pmb F_{x}(t)}{\pmb F_{e}}}</math> от времени t (от количества итераций) при <math>{\frac{\pmb k}{\pmb C_{s}}=0.5}</math>, при скорости правой частицы <math>{\frac{\pmb v}{\pmb v_{s}}=0.005}</math> и различных начальных вертикальных смещениях.|справа|400px]]
[[Файл:K1000.JPG|thumb|Рис.3 Зависимость продольной силы <math>{\frac{\pmb F_{x}(t)}{\pmb F_{e}}}</math> от времени t (от количества итераций) при <math>{\frac{\pmb k}{\pmb C_{s}}=1}</math>, при скорости правой частицы <math>{\frac{\pmb v}{\pmb v_{s}}=0.005}</math> и различных начальных вертикальных смещениях.|справа|400px]]
[[Файл:Nachsmesh1.JPG|thumb|Рис.4 Зависимость продольной силы <math>{\frac{\pmb F_{x}(t)}{\pmb F_{e}}}</math> от времени t (от количества итераций) при <math>{\frac{\pmb k}{\pmb C_{s}}=0.5}</math>, начальных вертикальных смещениях <math>{\frac{\pmb y_{i}}{\pmb a_{0}}<1}</math>, при различных скоростях правой частицы.|справа|400px]]
[[Файл:nachsmesh6.JPG|thumb|Рис.5 Зависимость продольной силы <math>{\frac{\pmb F_{x}(t)}{\pmb F_{e}}}</math> от времени t (от количества итераций) при <math>{\frac{\pmb k}{\pmb C_{s}}=0.5}</math>, начальных вертикальных смещениях <math>{\frac{\pmb y_{i}}{\pmb a_{0}}<6}</math>, при различных скоростях правой частицы.|справа|400px]]
[[Файл:Nachsmesh11.JPG|thumb|Рис.6 Зависимость продольной силы <math>{\frac{\pmb F_{x}(t)}{\pmb F_{e}}}</math> от времени t (от количества итераций) при <math>{\frac{\pmb k}{\pmb C_{s}}=0.5}</math>, начальных вертикальных смещениях <math>{\frac{\pmb y_{i}}{\pmb a_{0}}<11}</math>, при различных скоростях правой частицы.|справа|400px]]
==Ссылки==
*Kuzkin V.A., Dannert M.M.: Dynamic buckling of a column under constant speed compression. Acta Mech (2016) 227:1645-1652.