Редактирование: Динамическая потеря устойчивости цепочки частиц, соединенных линейными пружинами и имеющими изгибную жесткость

'''''Курсовой проект по [[Механика дискретных сред|Механике дискретных сред]]'''''

'''Исполнитель:''' [[Барсуков Севастьян]]

'''Группа:'''  3630103/60101

'''Семестр:''' осень 2019


==Постановка задачи==
Исследовать динамическую потерю устойчивости цепочки частиц, соединенных линейными пружинами и имеющими изгибную жесткость при различных начальных отклонениях,
а также при различных скоростях последней частицы.

==Построение модели==
В данной работе моделирование цепочки проводится методом динамики частиц.

Уравнение движения: 
<math> m\bar{a} = \bar{F_c} + \bar{F_s} </math><br>

===Метод решения===
Для решения задачи использовался метод Верле (leapfrog):

<math>  a_i = F(x_i), </math>
<math>  v_(i+\frac {1}{2}) = v_(i-\frac {1}{2} + a_i dt, </math>
<math>  x_{i+1} = x_{i} + v_(i+\frac {1}{2}) dt</math>

===Начальные условия===
 
Частицы обладают случайными начальными вертикальными смещениями<br>
<math>y_i = y_{rand}</math> ; <math>y_0 = 0</math> ; <math>y_n = 0</math> <br>

===Граничные условия=== 

Левый конец цепочки закреплен, правому задана постоянная скорость.<br>
<math>u_0 = 0</math>; <math>u_n = -v</math><br><br>

===Параметры системы===
Для проведения моделирование задаются следующие параметры:
масса частиц <math> m=10</math>, жесткость угловой пружины <math> c=10000</math>, количество частиц в цепочке <math> n=10</math>

===Взаимодействия в системе===
В системе имеется два типа взаимодействия:<br><br>
1. Потенциал линейной пружины: <br>
<math>П_k= \frac {k(r)^2}{2}</math><br> <br>
где k - линейная жесткость пружины; r – расстояние между частицами. <br>
2. Потенциал угловой пружины:<br>
Частицы соединены угловой пружиной, как показано на Рис.1.<br>
<math>П_s= \frac {c_s(φ-π)^2}{2}</math><br>
где Cs – жесткость, φ – угол образованный 2-мя соседними связями.<br>