Редактирование: Сравнение методов интегрирования уравнения гармонического осциллятора на python

[[ Курсовые_работы_по_ВМДС:_2018-2019 | Курсовые работы 2018-2019 учебного года]] > '''Сравнение методов интегрирования уравнения гармонического осциллятора на python''' <HR>

'''''Курсовой проект по [[Механика дискретных сред|Механике дискретных сред]]'''''

'''Исполнитель:''' [[Бальцер Анастасия]]

'''Группа:''' 43604/1

'''Семестр:''' осень 2018

===Постановка задачи===

Дано простейшее уравнение движения грузика на пружине: <math> \ddot{x} = -{c}{x} </math>. Необходимо интегрировать его с помощью метода конечных разностей и средствами библиотеки scipy. Сравнить результаты интегрирования с аналитическим решением.
<br/>

===Решение===

Рассмотрим уравнение модели гармонического осциллятора <math>\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0</math>, где <math> \omega_0^2 = \frac{c}{m} </math>. Начальные условия <math>x(t=0)=x_0</math>, <math>\dot{x}(t=0) = \dot{x}_0</math>.

Аналитическое решение:

<math>x{\left (t \right )} = C_{1} e^{- t \sqrt{- \omega_{0}}} + C_{2} e^{t \sqrt{- \omega_{0}}}</math>
Найдем константы <math>C_{1} : - \frac{v_{0}}{2 \sqrt{- \omega_{0}}} + \frac{x_{0}}{2}, \quad C_{2} : \frac{v_{0}}{2 \sqrt{- \omega_{0}}} + \frac{x_{0}}{2}</math>

Полное решение:
<math>x{\left (t \right )} = \left(- \frac{v_{0}}{2 \sqrt{- \omega_{0}}} + \frac{x_{0}}{2}\right) e^{- t \sqrt{- \omega_{0}}} + \left(\frac{v_{0}}{2 \sqrt{- \omega_{0}}} + \frac{x_{0}}{2}\right) e^{t \sqrt{- \omega_{0}}}</math>

Построим график аналитического решения:
[[File:Sympy 111.png|center]]

Численное решение методом конечных разностей:

<math> 
\begin{align}
x^{n+1} = && (2 - \omega_0^2dt^2)x^n - x^{n-1} \\
x^0 = && x_0 \\
x^1 = && x_0 + \dot{x}_0 dt
\end{align}
</math>

То есть зная значения <math>x^n</math> и <math>x^{n+1}</math> находим значение на следующем шаге. <math>x^1</math> находим из начальных условий. 

Получаем решение (шаг по времени 0.001):

[[File:Ode sympy1.png|center]]

Численное решение с помощью библиотеки Scipy:

Будем решать систему ОДУ

<math>\frac{d}{dt}
\begin{pmatrix}
\dot{x} \\ x
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
-\omega_0^2 x \\ \dot{x}
\end{pmatrix}</math>

Сравним полученное решение с аналитическим:

[[File:Scipy symp.png|center]]


===Выводы===

Таким образом, в ходе реализации данной работы можно сделать следующие выводы:

1. Если известно аналитическое решение, то лучше использовать его;

2. Реализация численных алгоритмов выполнима и в данной задаче показала высокую точность, однако в более сложных задачах это может быть более трудоемко;

3. Использование средств библиотеки scipy - быстрый и удобный способ решения задач, так как там уже реализовано множество численных методов. Для данной задачи оба численных решения показали высокую точность.

== См. также ==

*[[Кафедра "Теоретическая механика"]]
*[[Курсовые работы по ВМДС: 2018-2019]]
*[[Введение в механику дискретных сред]]