Редактирование: Моделирование вынужденных колебаний цепочки связанных гармонических осцилляторов

[[ Курсовые_работы_по_ВМДС:_2018-2019 | Курсовые работы 2018-2019 учебного года]] > '''Моделирование вынужденных колебаний цепочки связанных гармонических осцилляторов''' <HR>

'''''Курсовой проект по [[Механика дискретных сред|Механике дискретных сред]]'''''

'''Исполнитель:''' [[Васильева Анастасия]]

'''Группа:''' 43604/1

'''Семестр:''' осень 2018

===Постановка задачи===

Рассмотрим движения движение цепочки связанных гармонических осцилляторов под действием вынуждающей силы. Проводимое рассмотрение ограничим случаем, когда сила приложена к т. А колебательной системы, что для достаточно длинных цепочек не приводит, к потере общности получаемых результатов.
[[File:1dfgs.jpg|center]]

===Решение===

Система дифференциальных уравнений, описывающих движение каждого тела системы, имеет следующий вид:

[[File:2bhgj.jpg|center]]

Решения системы будем искать численно. Решение системы дифференциальных уравнений в пакете MATLAB находится в соответствие со следующим алгоритмом:

1.	задать вектор-функцию, возвращающую значения первых производных системы ДУ (размерность функции 2N);

2.	задать вектор, содержащий начальные условия (xi(0), i(0), i=1,2,...,N-1);

3.	обратиться к одной из функций, возвращающих таблицу, содержащую численное решение системы ДУ, например, функции ode45;

4.	провести визуализацию полученных численных решений.

Описание функции, возвращающей значения первых производных системы ДУ, мы разместили в файле Euler2.m.

В основном файле представлено решение для нахождения и визуализации численного решения системы ДУ, описывающих систему, совершающую свободные колебания.

Зависимость мгновенных значений смещения тел колебательной системы от времени представлена ниже на рисунке.

[[File:3fgd.jpg|center]]

Одной из основных проблем численного решения ДУ и систем ДУ является проблема выбора шага интегрирования, поскольку при достаточно большом шаге интегрирования возникают неустойчивые решения, т.е. решения, погрешность которых начинает возрастать  во времени  экспоненциально  быстро. Один из способов проверки устойчивости метода заключается в контроле величины полной энергии, которая в случае свободных колебаний должна сохраняться, поэтому для проверки правильности выбора шага интегрирования можно использовать следующий алгоритм:

1) Задать начальные смещения и скорости тел цепочки связанных осцилляторов.

2) Задать временной интервал, на котором ищется решение системы ДУ.

3) Задать число точек, в которых ищется численное решение системы ДУ.

4) Найти решение системы ДУ.

5) Вычислить значения энергии системы связанных осцилляторов в каждый момент времени.

6) Проанализировать изменение энергии системы во времени на заданном временном интервале и оценить точность выполнения закона сохранения энергии.

7) При неудовлетворительной точности решения повторить пп. 3-6.

8) При удовлетворительной точности решения перейти к анализу вынужденных колебаний.

Как очевидно, для реализации описанного выше алгоритма необходимо уметь вычислять энергии каждого из тел системы в заданные моменты времени. Для решения данной задачи можно использовать функцию En, описание которой мы сохранили в файле En.m.

Для вычисления мгновенных значений энергии тел колебательной системы и ее полной энергии необходимо выполнить последовательность команд, представленных во втором файле.

Мгновенные значения энергий выбранных тел колебательной системы представлены ниже на рисунке. 

[[File:4вапв.jpg|сenter]]

Зависимость полной энергии системы от времени.

[[File:5gjh.jpg|сenter]]

Анализ зависимости мгновенной энергии колебательной системы от времени показывает, что полная энергия отклоняется от своего первоначального значения по линейному закону.

Используя описанный выше документ, можно найти, например, зависимость мгновенных значений смещения тел колебательной системы от времени под действием вынуждающей силы. Для этого следует в приведенных в программах задать отличными от нуля значения переменных A и Omega, например, для А=0.2 и Omega = 0.4.

[[File:Untitleddfdf.jpg|сenter]]

== См. также ==

*[[Кафедра "Теоретическая механика"]]
*[[Курсовые работы по ВМДС: 2018-2019]]
*[[Введение в механику дискретных сред]]