Редактирование: Йо-йо (48.44)

'''Задача 48.44 из сборника задач Мещерского''': составить уравнения движения падающего на разматывающейся нити цилиндра и смоделировать систему на языке программирования JavaScript.

== Условие задачи ==
Один конец нерастяжимой тонкой нити обмотан вокруг однородного круглого цилиндра радиуса R, второй конец прикреплен к неподвижной точке O. Цилиндр, разматывая нить, опускается вниз, одновременно раскачиваясь вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку подвеса нити. Пренебрегая массой нити, составить дифференциальные уравнения движения цилиндра.

== Реализация на языке JavaScript ==
{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/Palirus/48.44.html|width=940 |height=400 |border=0 }}

== Используемые библиотеки ==
*three.js
*TGALoader.js
*dat.gui.js
*OrbitControls.js
*jquery.min.js
== Решение задачи ==
== Решение задачи ==
Уравнение Лагранжа второго рода:

<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q}\right) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0 </math>

<math>L = T - Π </math>

Система имеет две степени свободы: длина нити ρ и угол между нитью и вертикальной осью φ.

Кинетическая энергия: 

<math>T = \frac{1}{2}mv^{2} + \frac{1}{2}Ϳω^{2} = \frac{1}{2}m(\dot φ^{2} (R^{2} + ρ^{2}) + \dot ρ^{2} - 2\dot ρ\dot φR) + \frac{1}{4}m(\frac{\dot ρ}{R} - \dot φ)^{2}</math>

Потенциальная энергия:

<math>Π = -mg(ρcosφ - Rsinφ)</math>

Находим

<math>\frac{\partial L}{\partial ρ} = m(ρ\dot φ^{2} + gcosφ) </math>

<math>\frac{\partial L}{\partial φ} = -mg(ρsinφ - Rcosφ) </math>

<math>\frac{\partial L}{\partial \dot ρ} = m(\dot ρ - \dot φ R + \frac{1}{2}(\dot ρ - R\dot φ) </math>

<math>\frac{\partial L}{\partial \dot φ} = m(\dot φ^{2} (R^{2} + ρ^{2}) - \dot ρ R - \frac{1}{2}(\dot ρ - R\dot φ) </math>

Итак,

<math>\ddot ρ - \ddot φ R - \frac{2}{3}ρ\dot φ - \frac{2}{3}gcosφ = 0</math>

<math>ρ^{2}\ddot φ + 2\dot φ\dot ρ ρ - Rρ\dot φ^{2} + gρsinφ = 0</math>