Редактирование: Колебание системы

'''Задача 48.24 из сборника задач Мещерского''' : составить уравнения движения материальной точки по круговой рамке и смоделировать систему на языке программирования JavaScript.

== Условие задачи ==
Материальная точка массы m движется по круговой рамке радиуса a, которая вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикального диаметра AB. Составить уравнение движения точки и определить момент M, необходимый для поддержания постоянства угловой скорости.

== Реализация на языке JavaScript ==
{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/Zhukova_Yu_V/48.24/4824.html|width=940 |height=400 |border=0 }}

== Используемые библиотеки ==
*three.js
*stats.js
*dat.gui.js

== Решение задачи ==
Используем уравнение Лагранжа 2-го рода:

<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q}\right) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0 </math> , где
 L = T - П - функция Лагранжа
 T - кинетическая энергия системы
 П - потенциальная энергия системы
 q - независимая обобщенная координата

В данной задаче в качестве обобщенной координаты примем угол θ.

Кинетическая энергия: 

<math>T = \frac{1}{2}m(ẋ^{2}+ẏ^{2}+ż^{2}) = \frac{1}{2}m(R^{2} \dot θ cos^{2} θ + (R sin θ)^{2} ω^{2}+ R^{2} \dot θ^{2}) = \frac{1}{2}m R^{2}(\dot θ^{2} + ?sin ^{2}  θ ω^{2})</math>

Потенциальная энергия:

<math>П = m g z = m g R (1 - cos θ)</math>

Найдем:

<math>\frac{\partial L}{\partial θ} = m R^{2}ω^{2} sin θ cos θ - m g R sin θ </math>

<math>\frac{\partial L}{\partial \dot θ} = m R^{2} \dot θ</math>

Уравнения движения:

<math> \ddot θ = (ω^{2} cosθ - \frac{g}{R}) sin θ = 0 </math>

== См. также ==
*[[Задачи по теоретической механике]]

[[Category: Студенческие проекты]]