Редактирование: Цилиндр и наклонная плоскость (48.29)

*"Задача - Мещерский (48.29)"
==Условие==
На гладкой горизонтальной плоскости помещена треугольная призма ABC массы m, которая может скользить без трения по этой плоскости; по грани призмы AB катится без скольжения однородный круглый цилиндр массы m1. Определить ускорение призмы.
==Решение задачи==
Используем уравнение Лагранжа 2-го рода:

<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = Q  ,  (i = 1,2)</math> , где
 L = T - П - функция Лагранжа
 T - кинетическая энергия системы
 П - потенциальная энергия системы
 q - независимые обобщенные координаты

В данной задаче в качестве обобщенных координат примем изменяющиеся координату призмы <math>x</math> и координату цилиндра <math>c</math> по оси, направленной вдоль наклонной плоскости <math>\varphi </math>.
Представим:

<math>T = T_1+T_2</math>, где <math>T_1</math> - кинетическая энергия катка массы <math>m_1</math>, а <math>Т_2</math> - треугольной призмы массы <math>m</math>.

Треугольная призма откатывается вдоль оси <math>x</math>, следовательно:

<math>T_2 = \frac{1}{2}m\dot x^{2}</math>

Движение цилиндра массы <math>m_1</math> плоское.

<math>T_1 = \frac{1}{2}m_1V_с^{2}+\frac{1}{4}m_1r^{2} ω^{2}</math>

Где <math>V_с</math> - абсолютная скорость центра масс цилиндра массой <math>m_1</math>:

<math>V_c=  \dot S_c \cos\alpha - \dot x</math>

<math> ω= \frac{1}{r}\dot S_c</math>

Здесь <math>\dot S_c </math> - относительная скорость

<math>T = T_1+T_2= \frac{1}{2}m\dot x^{2} +\frac{1}{2}m_1(\dot S_c \cos^{2}\alpha - \dot x)^{2}+\frac{1}{4}m_1\dot S_c^{2}</math>

Получаем два равенства, соответствующие двум уравнениям Лагранжа:

<math>m\ddot x -m_1(\ddot S_c \cos^{2}\alpha - \ddot x)=m_1g\cos\alpha\sin\alpha</math>
<math>m_1(\ddot S_c \cos^{2}\alpha - \ddot x)\cos^{2}\alpha+\frac{m_1}{2}\ddot S_c=m_1g\sin\alpha </math>

Откуда получаем:

<math>\ddot x=a=-g\frac{m_1\sin 2\alpha}{3(m+m_1)-2m_1\cos^{2}\alpha}</math>

{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/VaraevV/mesherskiy/4829.html|width=760 |height=560|border=0 }}

== Разработка ==
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Текст программы на языке JavaScript (разработчик [[Вараев Владислав]]):'''
<div class="mw-collapsible-content"> 
Файл '''"4829.html"'''
<syntaxhighlight lang="javascript" line start="1" enclose="div">
<!DOCTYPE html>
     <html>
     <head>
<title>4829</title>
    <script type="text/javascript" src="http://tm.spbstu.ru/htmlets/VaraevV/mesherskiy\three.js"></script>
    <script type="text/javascript" src="http://tm.spbstu.ru/htmlets/VaraevV/mesherskiy\OBJLoader.js"></script>
    <script type="text/javascript" src="http://tm.spbstu.ru/htmlets/VaraevV/mesherskiy\MTLLoader.js"></script>
    <script type="text/javascript" src="http://tm.spbstu.ru/htmlets/VaraevV/mesherskiy\OBJMTLLoader.js"></script>
    <script type="text/javascript" src="http://tm.spbstu.ru/htmlets/VaraevV/mesherskiy\jquery-1.9.0.js"></script>
    <script type="text/javascript" src="http://tm.spbstu.ru/htmlets/VaraevV/mesherskiy\stats.js"></script>
    <script type="text/javascript" src="http://tm.spbstu.ru/htmlets/VaraevV/mesherskiy\dat.gui.js"></script>
    <script type="text/javascript" src="http://tm.spbstu.ru/htmlets/VaraevV/mesherskiy\chroma.js"></script>
    <script type="text/javascript" src="http://tm.spbstu.ru/htmlets/VaraevV/mesherskiy\TrackballControls.js"></script>
	<script type="text/javascript" src="http://tm.spbstu.ru/htmlets/VaraevV/mesherskiy\OrbitControls.js"></script>
       
    </style>
    </head>
    <body>

    <div id="Stats-output">
    </div>

    <div id="WebGL-output">
    </div>


    <script type="text/javascript">

    $(function () {
	 var a = 0;
	 var g = 9.8;
	 var m = 20;
	 var m1 = 15;
	 var stats = initStats();
         var scene = new THREE.Scene();
         var camera = new THREE.PerspectiveCamera(45, window.innerWidth / window.innerHeight, 0.1, 1000);
         var renderer = new THREE.WebGLRenderer();
         renderer.setClearColor(new THREE.Color(0xEEEEEE, 1.0));
         renderer.setSize(window.innerWidth, window.innerHeight);
         renderer.shadowMapEnabled = true;
		var spotLight = new THREE.SpotLight( 0xffffff );
		spotLight.position.set( -100, 0, -10 ); //-40, 60, -10
		scene.add(spotLight );
				var ugol= 135;
				var alpha0 = Math.cos(ugol*Math.PI/180);
				var step = 0;
					var plane = createMesh0(new THREE.PlaneGeometry(1000, 2000, 50, 50));
				scene.add(plane);
					var cube = createMesh(new THREE.CubeGeometry(2, 200, 800));
						cube.position.x=0;
						cube.position.y=0;
						cube.position.z=0;
				scene.add(cube);
					var cylinder1 = createMesh1(new THREE.CylinderGeometry(25, 25, 60, 15, 1));
						cylinder1.position.x=cube.position.x-400*Math.cos((180-ugol)*Math.PI/180)+25*Math.sin((180-ugol)*Math.PI/180);	
						cylinder1.position.y=cube.position.y;
						cylinder1.position.z=cube.position.z+400*Math.sin((180-ugol)*Math.PI/180)+25*Math.cos((180-ugol)*Math.PI/180);
						var c = cylinder1.position.x;
						var d = cylinder1.position.z;
				scene.add(cylinder1);
					var group1 = new THREE.Object3D();
					group1.add(cube);
					group1.add(cylinder1);
					group1.position.x = 0;
					group1.position.y = 0;
					group1.position.z=0;
				scene.add(group1);
				
		function createMesh0(geom) {
                   var meshMaterial = new THREE.MeshNormalMaterial();
                   meshMaterial.side = THREE.DoubleSide;
                   var wireFrameMat = new THREE.MeshBasicMaterial();
                   wireFrameMat.wireframe = true;
                   var plane = THREE.SceneUtils.createMultiMaterialObject(geom, [meshMaterial, wireFrameMat]);
                   return plane;
           }
            function createMesh(geom) {
             var meshMaterial = new THREE.MeshNormalMaterial();
             meshMaterial.side = THREE.DoubleSide;
             var wireFrameMat = new THREE.MeshBasicMaterial();
             wireFrameMat.wireframe = true;
             var mesh = THREE.SceneUtils.createMultiMaterialObject(geom, [meshMaterial, wireFrameMat]);
             return mesh;
            }
		 function createMesh1(geom) {
                         var mat = new THREE.MeshNormalMaterial();
			 var mesh = new THREE.Mesh(geom,mat);
			 return mesh;
           }

         camera.position.x = 0;
         camera.position.y = -1300;
         camera.position.z = 1500;
         camera.lookAt(scene.position);

		 $("#WebGL-output").append(renderer.domElement);
		 renderer.render(scene, camera);
			 var stats = initStats();
		 cameraControls = new THREE.OrbitControls(camera, renderer.domElement);
		 cameraControls.maxDistance = 800;
		 cameraControls.minDistance = 0.5;
		 cameraControls.update();
			 var controls = new function() {
				 this.Speed = 0.1;
				 this.ugol = 135;
				 this.m = 20;
				 this.m1 = 15;
				 this.a='0'
            }
			 var obj = { start_again:function(){ 
				 step=0;
				 cube.position.x=0;
				 cube.position.y=0;
				 cube.position.z=0;
				 cylinder1.position.x=cube.position.x-400*Math.cos((180-ugol)*Math.PI/180)+25*Math.sin((180-ugol)*Math.PI/180);	
				 cylinder1.position.y=cube.position.y;
				 cylinder1.position.z=cube.position.z+400*Math.sin((180-ugol)*Math.PI/180)+25*Math.cos((180-ugol)*Math.PI/180);
				 group1.position.x = 0;
				 group1.position.y = 0;
				 group1.position.z=0;
		 }};
			 var gui = new dat.GUI();
				 gui.add(controls, 'Speed',0,0.2);
				 gui.add(controls, 'ugol',89.9999,180);
				 gui.add(controls, 'm',0.1,50);
				 gui.add(controls, 'm1',0.1,50);	
				 gui.add(controls,'a').listen();
				 gui.add(obj,'start_again');
			 var step = 0;
		 function render() {
			 cameraControls.update();
			 requestAnimationFrame(render);
			 renderer.render(scene, camera);
			 step += controls.Speed
		         ugol = controls.ugol
			 controls.a=a;
			 m = controls.m
			 m1=controls.m1
				 if(ugol<=135) {
					group1.rotation.y=Math.cos(ugol*Math.PI/180);
				 }
				 else {
				 	group1.rotation.y=Math.cos(ugol*Math.PI/180)+Math.cos((ugol-55)*Math.PI/180);
			 	 }
				 	cylinder1.rotation.y = step*step;
			  a = -(g*m1*Math.sin(2*(180-ugol)*Math.PI/180))/(3*(m1+m)-2*m1*((Math.cos((180-ugol)*Math.PI/180))*(Math.cos((180-ugol)*Math.PI/180))));  
				var v =0.6*a;
			 	 	if (cylinder1.position.z<=25*Math.sin((180-ugol)*Math.PI/180)) {
					 	cylinder1.position.x = 25; 
						cylinder1.position.z = 25*Math.sin((180-ugol)*Math.PI/180);
						cylinder1.rotation.y = 0;
			 		 	group1.position.x =group1.position.x+v;			   
					} 
					else { 
			   		group1.position.x = (a*step*step)/2;
					cylinder1.position.x=26;  
			 		cylinder1.position.z=d-g*Math.sin((180-ugol)*Math.PI/180)*step*step/2;										
			 		} 
		 } 
         render();
		 function initStats() {
             var stats = new Stats();
             stats.setMode(0); // 0: fps, 1: ms
             stats.domElement.style.position = 'absolute';
             stats.domElement.style.left = '0px';
             stats.domElement.style.top = '0px';
             $("#Stats-output").append(stats.domElement);
             return stats;
          }
     });
</script>
</body>
</html>
</syntaxhighlight>
</div>
</div>