Редактирование: Совершенствование алгоритмов численного моделирования в методе динамики частиц

== Задача ==

* ...

== Построение модифицированного метода Рунге-Кутты 4 порядка ==

Рассмотрим задачу Коши

<math> dx/dt=f(x,t) \ \ (1) </math>

<math> x(0)=x_0 </math>

Для неизвестной вектор-функции x(t), в качестве которой для примера может быть взят вектор <math> (r,v) = (x,y,z,u,v,w) </math> координат позиции и скорости тела. Данная задача может быть решена численно классическим методом Рунге-Кутты четвёртого порядка. 

<math> k_1=\Delta t f(x_n,t_n ) </math>

<math> k_2=\Delta t f(x_n+k_1/2,t_n+Δt/2) </math>

<math> k_3=\Delta t f(x_n+k_2/2,t_n+Δt/2) </math>

<math> k_4=\Delta t f(x_n+k_3,t_n+Δt) </math>

<math> x_(n+1)=x_n+1/6 (k_1+2k_2+2k_3+k_4 )  \ \ (2) </math>

По сравнению с методами Эйлера, Лагранжа и Верле, данный метод имеет более высокий порядок точности. Однако классический метод Рунге-Кутты четвёртого порядка имеет одну особенность, связанную с необходимостью вычислять функцию <math> f(x,t) </math> четыре раза за одну временную итерацию. Потому этот метод становится неэффективным в вычислительных задачах, где основное расчётное время тратится на вычисление правой части системы дифференциальных уравнений, как, например, это имеет место в случае расчёта молекулярно-динамической задачи множества частиц. Вследствие данной особенности применение метода Рунге-Кутты становится неэффективным и даже его исключительная точность теряет свою значимость.

Ниже приводится модификация метода Рунге-Кутты 4 порядка, где с помощью одного хитрого приёма удаётся избежать многократного вычисления функцию <math> f(x,t) </math> на одном временном шаге и в то же время сохранить высокий порядок по времени.

Идея заключается в разложении функций <math> f(x_n+k_i/2,t_n+Δt/2) </math> в ряд Тейлора в окрестности точки <math> (x_n,t_n) </math>. 

<math> f(x_n+k_i/2,t_n+Δt/2)= \frac {\partial f} {\partial x} (x_n,t_n )∙k_i/2+  \frac {\partial f} {\partial t} (x_n,t_n )  Δt/2 + ...  \ \ (3)	</math>

Здесь присутствуют малоприятные производные, однако, как потом окажется, с ними можно будет легко разобраться. Сколько членов в разложении нужно оставить, чтобы в схеме сохранился четвёртый порядок? – До <math> (Δt)^4 </math> и <math> (k_i )^4 </math> или меньше?

Для слагаемых с локальными производными по времени ответ очевиден – необходимо удерживать всё вплоть до <math> (Δt)^4 </math>, ибо в противном случае мы потеряем наш 4-й порядок по времени для схемы в целом. Однако для <math> k_i </math> на самом деле достаточно только первой производной. 

В случае, когда правая часть (1) не зависит явно от времени, (3) предельно упрощается.

<math> f(x_n+k_i/2,t_n+Δt/2)=∂f/∂x (x_n,t_n )∙k_i/2 \ \ (4) </math>

Данная ситуация имеет место при молекулярно-динамическом моделировании, поскольку потенциал взаимодействия, как правило, является функцией только координат и скоростей частиц.

Запишем (4) в случае молекулярно-динамического моделирования. В нашем случае неизвестная вектор-функция  <math> x = {r,v} </math>.

<math> (x,t)=(v,\frac{F(r)}{m}) </math>

<math> f(x_n+k_i/2,t_n+Δt/2) = (v,\frac{F(r+k_i^r/2)}{m}) = ( v+\frac {k_1^v}{2},\frac {F(r+\frac {k_1^r}{2})}{m} )= </math>

<math> =( v+\frac {k_1^v}{2},\frac {F_n + \frac {dF}{dr} (r)  \frac{k_1^r}{2}}{m} )  \ \ (5) </math>

где

<math> \frac {dF}{dr} = \frac {\Delta F}{\Delta r} = \frac {\Delta F}{\Delta r} \frac {\Delta t}{\Delta t} = \frac {\Delta F}{\Delta t} \frac {\Delta t}{\Delta r} =\frac {F_n - F_(n-1)}{\Delta t } \frac {1}{v} \ \ (6) </math>

С учётом вышесказанного, мы можем записать конечно-разностную схему Рунге-Кутта для молекулярно-динамического моделирования

<math>k_1^v=\Delta t \frac {F_n}{m}</math>

<math>k_2^v=\Delta t \frac {F_n}{m}+\frac{F_n-F_(n-1)}{2m}</math>

<math>k_3^v=\Delta t \frac {F_n}{m}+\frac{F_n-F_(n-1)}{2m}</math>

<math>k_4^v=\Delta t \frac {F_n}{m}+\frac{F_n-F_(n-1)}{m}</math>

<math>k_1^r=\Delta t \frac {F_n}{m}</math>

<math>k_2^r=\Delta tv_n+\frac {v_n-v_(n-1)}{2}=\Delta t \frac {v_n+(k_1^v}{2}</math>

<math>k_3^r=\Delta tv_n+\frac {v_n-v_(n-1)}{2}= \Delta t \frac {v_n+(k_2^v}{2})</math>

<math>k_4^r=\Delta tv_n+v_n-v_(n-1)= \Delta t(v_n+k_3^v )</math>

<math>r_(n+1)=r_n+1/6 (k_1^r+2k_2^r+2k_3^r+k_4^r )</math>

<math>v_(n+1)=v_n+1/6 (k_1^((v) )+2k_2^((v) )+2k_3^((v) )+k_4^((v) ) )	\ \ (8) </math>

Выражения для <math> k_i^r</math> представлены в двух видах: один – с учётом рассмотренного упрощения, а второй - классический Рунге-Куттовский, который применим для уравнения по <math> r </math> ввиду простой правой части.

== Обезразмеривание системы как способ уменьшения накопления вычислительной ошибки ==

* ...

== Frozen Particles & Press Particles ==

* ...