Редактирование: Совершенствование алгоритмов численного моделирования в методе динамики частиц

== Задача ==

* ...

== Модифицированный метод Рунге-Кутты ==

* Рассмотрим задачу Коши

<math> dx/dt=f(x,t) </math>

<math> x(0)=x_0 </math>	(1)

* Для неизвестной вектор-функции x(t), в качестве которой для примера может быть взят вектор <math>{r,v}={x,y,z,u,v,w}</math> координат позиции и скорости тела. Данная задача может быть решена численно классическим методом Рунге-Кутты четвёртого порядка. 

<math> k_1=Δtf(x_n,t_n ) </math>

<math> k_2=Δtf(x_n+k_1/2,t_n+Δt/2) </math>

<math> k_3=Δtf(x_n+k_2/2,t_n+Δt/2) </math>

<math> k_4=Δtf(x_n+k_3,t_n+Δt) </math>

<math> x_(n+1)=x_n+1/6 (k_1+2k_2+2k_3+k_4 ) </math>	(2)

* По сравнению с методами Эйлера, Лагранжа и Верле, данный метод имеет более высокий порядок точности. Однако классический метод Рунге-Кутты четвёртого порядка имеет одну особенность, связанную с необходимостью вычислять функцию <math> f(x,t) </math> четыре раза за одну временную итерацию. Потому этот метод становится неэффективным в вычислительных задачах, где основное расчётное время тратится на вычисление правой части системы дифференциальных уравнений, как, например, это имеет место в случае расчёта молекулярно-динамической задачи множества частиц. Вследствие данной особенности применение метода Рунге-Кутты становится неэффективным и даже его исключительная точность теряет свою значимость.
* Ниже приводится модификация метода Рунге-Кутты 4 порядка, где с помощью одного хитрого приёма удаётся избежать многократного вычисления функцию <math> f(x,t) </math> на одном временном шаге и в то же время сохранить высокий порядок по времени.

== Обезразмеривание системы как способ уменьшения накопления вычислительной ошибки ==

* ...

== Frozen Particles & Press Particles ==

* ...