Редактирование: Преобразование механической энергии в тепловую в одномерном кристалле

'''''Выпускная квалификационная работа'''''

'''Выполнил:''' студент группы 43604/1 [[Старобинский Егор|Е. Б. Старобинский]]

'''Руководитель:''' доктор физ.-мат. наук, член-корр. РАН [[Кривцов Антон | А. М. Кривцов]]

== Введение ==
Cовременные нанотехнологии позволяют получать практически идеальные (бездефектные) материалы<ref>Yenny et al. Hernandez. High-yield production of graphene by liquid-phase exfoliation of graphite. Nature Nanotechnology, 3:563–568, 2008.</ref><ref>Xiaolin et al. Li. Highly conducting graphene sheets and langmuir-blodgett films. Nature Nanotechnology, 3:538–542, 2008.</ref>, отличающиеся по своим свойствам от материалов с дефектами<ref>L. Shi et al. Evaluating broader impacts of nanoscale thermal transport research. Nanoscale and Microscale Thermophysical Engineering, 19:127–165, 2015.</ref>. В частности, тепловые процессы в таких наноструктурах протекают по иным, более сложным законам, чем для тел макроуровня. Знание этих законов и особенностей поведения наносистем имеет большое практическое значение при разработке новых устройств<ref>Kostya S Novoselov, Andre K Geim, Sergei V Morozov, D Jiang, Y Zhang, Sergey V Dubonos, Irina V Grigorieva, and Alexandr A Firsov. Electric field effect in atomically thin carbon films. Science, 306(5696):666–669, 2004.</ref><ref>Z. Xu, G. Tai, Y. Zhou, F. Gao, and K. H. Wong. Self-charged graphene battery harvests electricity from thermal energy of the environment. ArXiv e-prints, 2012.</ref> и расширении области применения наноматериалов, в том числе на промышленном уровне. Однако описание наносистем с помощью существующих моделей сопряжено с существенными противоречиями экспериментальным данным, что связано как с отсутствием цельной теории, позволяющей описывать процессы наноуровня, так и с трудоёмкостью проведения натурных экспериментов. Компромиссом является численное моделирование наноструктур, при котором поведение материала является прямым следствием уравнений динамики. Минус такого подхода – необходимость рассчитывать крупные фрагменты материала, чтобы за исследумое время возмущение не успевало дойти до границ. Следовательно, требуются большие вычислительные мощности.

В 1953 году на суперкомпьютере Maniac I группа учёных, состоящая из Энрико Ферми, Станислава Улама, Джона Паста и Мэри Цингоу, численно решила задачу Коши<ref>Enrico Fermi, J. Pasta, and S. Ulam. Studies of nonlinear problems. Los Alamos Report LA-1940, 978, 1965.</ref> для системы дифференциальных уравнений, описывающую одномерный кристалл с нелинейным взаимодействием между частицами. С помощью синусоидальной волны задавалось начальное возмущение, ожидалось, что с течением времени энергия волны равномерно распределится по всем частицам. Оказалось, что сначала волна действительно теряет свою форму и энергию, но по прошествии достаточного времени почти точно возвращается к исходному состоянию. В дальнейшем это явление было названо «парадоксом Ферми-Паста-Улама-Цингоу», так как исследователям удалось доказать неспособность физики 20-го века описывать взаимодействия на наноуровне.

В данной работе рассматривается одна из нелинейных моделей кристалла, описанных Энрико Ферми. Ключевым отличием является введение тепловой энергии через задание дисперсии начальных скоростей.

== Модель одномерного кристалла ==

=== Метод исследования ===

Объектом исследования является модель одномерного теплоизолированного кристалла с заданной на нём механической волной. Начальная температура кристалла задаётся случайными скоростями частиц. Дифференциальные уравнения динамики цепочки решаются методом центральных разностей. Производится сравнение решений для бегущей и стоячей волн. Исследуется закон перехода механической энергии волны в тепловую энергию кристалла.

Для численного расчета формулируемых задач создан ряд специальных программ на языках С++, Bash и Mathematica.

=== Постановка задачи ===

Рассмотрим модель одномерного кристалла: цепочку одинаковых частиц массы <math>m</math>, соединённых одинаковыми нелинейными пружинами (квадратичная нелинейность). 

Каждой частице присвоим свой целочисленный индекс. Принимая <math>u_k</math> за перемещение <math>k</math>-й частицы, а <math>C_1</math> и <math>C_2</math>~--- за коэффициенты при линейном и квадратичном членах в разложении силы взаимодействия $k$-й частицы с двумя ближайшими соседями, получим следующее дифференциальное уравнение:

<math>
\begin{equation}
	m\ddot u_k = C_1\left(\left(u_{k + 1} - u_{k}\right) - \left(u_{k} - u_{k - 1}\right)\right) + 
	C_2\left(\left(u_{k + 1} - u_{k}\right)^2 - \left(u_{k} - u_{k - 1}\right)^2\right),
\end{equation}
</math>
где <math>\dot f</math>~--- производная <math>f</math> по времени

Перепишем это выражение, раскрыв скобки и введя новые обозначения для коэффициентов при линейной и нелинейной части:
<math>
\begin{equation}
	\ddot u_k = \omega_0^2\left(u_{k + 1} - 2u_{k} + u_{k - 1}\right) + \alpha_0^2\left(u_{k + 1}^2 - 2u_{k + 1}u_{k} + 2u_{k}u_{k - 1} - u_{k - 1}^2\right),
\end{equation}
</math>
<math>
\begin{equation}
	\omega_0 = \sqrt{\frac{C_1}{m}}, \quad \alpha_0 = \sqrt{\frac{C_2}{m}}.
\end{equation}
</math>
Здесь <math>\omega_0</math> соответствует циклической частоте колебаний.

Заметим, что
<math>
\begin{equation}
	\begin{split}
		& u_{k + 1}^2 - 2u_{k + 1}u_{k} + 2u_{k}u_{k - 1} - u_{k - 1}^2 = \\
		& = u_{k + 1}^2 - 2u_{k + 1}u_{k} + 2u_{k}u_{k - 1} - u_{k - 1}^2 \pm u_{k + 1}u_{k-1}= \\
		& = \left(u_{k + 1}^2 - 2u_{k + 1}u_{k} + u_{k - 1}u_{k + 1}\right) - \left(u_{k + 1}u_{k - 1} - 2u_{k}u_{k - 1} + u_{k - 1}^2\right) = \\
		& = u_{k + 1}\left(u_{k + 1} - 2u_{k} + u_{k - 1}\right) - u_{k - 1}\left(u_{k + 1} - 2u_{k} + u_{k - 1}\right) = \\
		& = \left(u_{k + 1} - 2u_{k} + u_{k - 1}\right)\left( u_{k + 1} - u_{k - 1} \right).
	\end{split}
	\label{replace}
\end{equation}
</math>
Воспользуемся заменой~(\ref{replace}), и тогда уравнения динамики цепочки примут следующий вид:
<math>
\begin{equation}
	\ddot u_k = \left(u_{k + 1} - 2u_{k} + u_{k - 1} \right) \left( \omega_0^2 + \alpha_0^2 \left( u_{k + 1} - u_{k - 1} \right) \right).
	\label{chainEquations}
\end{equation}
</math>

Аналогичное уравнение использовалось в оригинальной работе Ферми, Паста и Улама\cite{fermi1965crystal}.

Механическую энергию системы в начальный момент времени (то есть, при <math>t = 0</math>) будем задавать с помощью синусоидальной волны. Из-за теплового движения частиц волна будет терять свою форму, а её энергия перейдёт в тепловую энергию системы. Для описания этого процесса численно решим уравнения динамики кристалла. 

Чтобы замкнуть систему из <math>k</math> уравнений~(\ref{chainEquations}), определим граничные условия, а также по <math>k</math> начальных условий на перемещения и скорости. Для задания начальных скоростей воспользуемся генератором случайных чисел с равномерным распределением. При этом дисперсию скоростей будем задавать в соответствии с требуемым температурным профилем.

=== Начальные и граничные условия ===

Чтобы соответствовать идеальной модели, исследуемая цепочка должна иметь бесконечную длину. Для проведения численного моделирования будем рассматривать кристалл конечной длины с заданным условием периодичности (граничные условия Борна~--- Кармана): 

<math>
\begin{equation}
	\label{boundaryConditions}
	u\!\left(x + L\right) =	u\!\left(x\right), \quad L \gg a,
\end{equation}
</math>
где  <math>L</math>~--- длина кристалла, <math>a</math>~--- равновесное расстояние между частицами.

Таким образом, условие теплоизоляции выполняется.

В рамках поставленной задачи будем рассматривать два вида движения в кристалле: движение механической волны и тепловое движение (тепловой шум). Соответственно, начальные условия для скоростей частиц также будут складываться из двух компонент. Меняя начальные условия, рассмотрим решение задачи для следующих постановок:
* на кристалле задана бегущая волна;
* на кристалле задана стоячая волна.

==== Начальные условия для бегущей волны ====
Рассмотрим уравнение бегущей волны (пусть волна распространяется в одном направлении):
<math>
\begin{equation}
	\label{runningWaveEquation1}
	\dot u\!\left(x\right) = A \sin\!\left(k_0 x - \omega_0 t + \phi \right),
\end{equation}
</math>
где <math>A</math>~--- амплитуда колебаний, <math>k_0</math>~--- волновое число, <math>\phi</math>~--- фаза колебаний.

Величину <math>u\!\left(x\right)</math> на момент времени <math>t</math> получим интегрированием уравнения~(\ref{runningWaveEquation1}):

<math>
\begin{equation}
	\label{runningWaveEquation2}
	u\!\left(x\right) = \int\limits_0^t \! \dot u\!\left(x\right) \,\mathrm{d}t = \frac{1}{\omega_0} A \cos\!\left(k_0 x - \omega_0 t + \phi \right).
\end{equation}
</math>

Пусть длина волны совпадает с длиной кристалла, тогда
<math>
\begin{equation}
	k_0~\mathrel{\stackrel{\rm def}=} \frac{2 \pi}{\lambda} = \frac{2 \pi}{L},
\end{equation}
</math>
где <math>\lambda</math>~--- длина волны.

Фазу колебаний <math>\phi</math> положим равной нулю и запишем уравнения~(\ref{runningWaveEquation1}) и~(\ref{runningWaveEquation2}) для начального момента времени (<math>t=0</math>):
<math>
\begin{equation}
	\label{initialMechanicalVelocity1}
	\dot u\!\left(x\right)|_{t=0} = A \sin\!\left(\frac{2 \pi x}{L} \right).
\end{equation}
</math>
<math>
\begin{equation}
	\label{initialMechanicalDisplacement1}
	u\!\left(x\right)|_{t=0} = \frac{1}{\omega_0} A \cos\!\left(\frac{2 \pi x}{L}\right).
\end{equation}
</math>

На рисунке~\ref{runningWaveInitialConditions} приведён эскиз начальных перемещений и скоростей частиц кристалла при заданной бегущей волне.

<math>
\begin{figure}[ht!]
		\center{\input{Data/InitialConditions/rw.tex}}
		\caption{Начальные условия для бегущей волны}
		\label{runningWaveInitialConditions}
\end{figure}
</math>

==== Начальные условия для стоячей волны ====
Начальные условия~(\ref{initialMechanicalVelocity1}) и~(\ref{initialMechanicalDisplacement1}) позволяют задать бегущую волну. Получим подобные условия также для стоячей волны. Для этого рассмотрим две волны амплитуды <math>\frac{A}{2}</math>, бегущие в противоположных направлениях с разностью фаз <math>\pi</math>:
<math>
\begin{equation}
	v_1\!\left(x\right) = \frac{A}{2} \sin\!\left(k_0 x - \omega_0 t \right), \quad v_2\!\left(x\right) = \frac{A}{2} \sin\!\left(- k_0 x - \omega_0 t + \pi \right),
\end{equation}
</math>

Результатом наложения этих двух волн будет стоячая волна, описываемая следующим уравнением:
<math>
\begin{equation}
	\label{standingWaveEquation1}
	\dot u\!\left(x\right) = v_1\!\left(x\right) + v_1\!\left(x\right) = A \cos\!\left(\omega_0 t \right)\sin\left(k_0 x \right).
\end{equation}
</math>

Аналогично, проинтегрируем уравнение~(\ref{standingWaveEquation1}) по времени <math>t</math>:
<math>
\begin{equation}
	u\!\left(x\right) = \int\limits_0^t \! \dot u\!\left(x\right) \,\mathrm{d}t = \frac{A}{\omega_0} \sin\!\left(\omega_0 t \right)\sin\left(k_0 x \right).
	\label{standingWaveEquation2}
\end{equation}
</math>

Подставляя в~(\ref{standingWaveEquation1}) и~(\ref{standingWaveEquation2}) <math>k_0 = \frac{2 \pi}{L}</math> и <math>t = 0</math>, получим начальные условия для стоячей волны:
<math>
\begin{equation}
	\label{initialMechanicalVelocity2}
	\dot u\!\left(x\right)|_{t=0} = A \sin\!\left(\frac{2 \pi x}{L} \right).
\end{equation}
</math>
<math>
\begin{equation}
	\label{initialMechanicalDisplacement2}
	u\!\left(x\right)|_{t=0} = 0.
\end{equation}
</math>

Соответствующий график начальных перемещений и скоростей частиц цепочки приведён на рисунке~\ref{standingWaveInitialConditions}.

<math>
\begin{figure}[ht!]
		\center{\input{Data/InitialConditions/sw.tex}}
		\caption{Начальные условия для стоячей волны}
		\label{standingWaveInitialConditions}
\end{figure}
</math>

Функции скоростей в начальный момент времени для бегущей~(\ref{initialMechanicalVelocity1}) и стоячей~(\ref{initialMechanicalVelocity2}) волн совпадают, различаются только начальные перемещения.

==== Начальные условия теплового движения ====

Введём оператор усреднения функции по её аргументу:
<math>
\begin{equation}
	\left<f\right> = \frac{1}{b - a}\int\limits_{a}^{b} \! f \! \left( x \right) \, \mathrm{d}x,
\end{equation}
</math>
где <math>\left[a; b\right]</math>~--- отрезок, на котором проводится усреднение.

Оператор нахождения среднего по координате для цепочки длины <math>L</math> в таком случае записывается следующим образом:
<math>
\begin{equation}
	\left<f\right> = \frac{1}{L}\int\limits_{0}^{L} \! f \! \left( x \right) \, \mathrm{d}x,
\end{equation}
</math>

Чтобы получить выражение для тепловой компоненты скорости, запишем определение кинетической температуры в одномерной постановке:

<math>
\begin{equation}
	\frac{1}{2}kT\!\left(x\right) = \frac{m \left< v^{2} \right>}{2},
\end{equation}
</math>
где <math>k</math>~--- постоянная Больцмана, <math>T(x)</math>~--- профиль температуры, <math>v</math>~--- скорость.

Из этого равенства выразим <math>\left< v^{2} \right></math>:
<math>
\begin{equation}
	\left< v^{2} \right> = \frac{kT\!\left(x\right)}{m}.
	\label{vTemp2Average}
\end{equation}
</math>

Пусть в начальный момент времени температура в кристалле распределена равномерно. Соответствующее распределение для скоростей будем задавать с помощью случайного числа <math>\rho</math> в диапазоне <math>\left[-1;1\right]</math>. Определим среднее значение <math>\rho^{2}</math>:

<math>
\begin{equation}
		\left< \rho^{2} \right> = \frac{1}{2}\int\limits_{-1}^{1} \! \rho^{2} \, \mathrm{d}\rho = \frac{1}{2} \frac{\rho^{3}}{3} \bigg|_{-1}^{1} = \frac{1}{3}.
\end{equation}
</math>

Таким образом, <math>3 \left< \rho^{2} \right> = 1</math>. Воспользуемся этим соотношением для построения требуемого профиля <math>T \! \left( x \right)</math>:
<math>
\begin{equation}
	T \! \left( x \right) = 3 \left< \rho^{2} \right> T_0,
\end{equation}
</math>
где <math>T_0</math>~--- значение температуры при <math>t = 0</math>.

Перепишем выражение~(\ref{vTemp2Average}):
<math>
\begin{equation}
	\left< v^{2} \right> = \frac{ 3 k T_0}{m} \left< \rho^{2} \right>.
\end{equation}
</math>

Выразим <math>v^{2}\!\left(x\right)</math> и <math>v\!\left(x\right)</math>:
<math>
\begin{equation}
	v^{2}\!\left(x\right) = \frac{ 3 k T_0}{m} \rho^{2}\!\left(x\right),
\end{equation}
</math>
<math>
\begin{equation}
	v\!\left(x\right) = \sqrt{\frac{3 k T_0}{m}} \rho\!\left(x\right).
	\label{vTemp}
\end{equation}
</math>

Введём величину дисперсии скоростей <math>\sigma_{v}^{2}</math> так, чтобы при <math>\sigma_{v}^{2} = 1</math> в начальный момент времени механическая энергия волны равнялась тепловой энергии цепочки:
<math>
\begin{equation}
	T_0 = \frac{m}{k} A^{2} \sigma_{v}^{2}
	\label{initialTemp}
\end{equation}
</math>

Тогда значение <math>\sigma_{v}^{2} = 10</math> можно трактовать следующим образом: при <math>t~=~0</math> энергия теплового шума в кристалле в <math>10</math> раз превосходит механическую энергию волны.

Перепишем~(\ref{vTemp}) с учётом соотношения~(\ref{initialTemp}):
<math>
\begin{equation}
	v\!\left(x\right)|_{t = 0} = A \sqrt{3 \sigma_{v}^{2}} \rho \! \left( x \right).
	\label{initialThermalVelocity}
\end{equation}
</math>

Таким образом, были получены выражения для обеих компонент скорости: скорость механической волны задаётся функцией~(\ref{initialMechanicalVelocity1}), тепловой шум определяется функцией (\ref{initialThermalVelocity}). Итоговое условие на начальные скорости в кристалле принимает следующий вид:
<math>
\begin{equation}
	\left. \dot u(x) \right |_{t = 0} = A \left( \sin\!\left( \frac{2 \pi x}{L} \right) + \sqrt{3 \sigma_{v}^{2}} \rho \! \left( x \right) \right).
\end{equation}
</math>

Начальные перемещения при рассмотрении бегущей волны задаются формулой~(\ref{initialMechanicalDisplacement1}), при рассмотрении стоячей~--- формулой~(\ref{initialMechanicalDisplacement2})

=== Вычисление механической энергии ===
В начальный момент скорость имеет распределение, близкое к синусоидальному. С течением времени цепочка теряет эту форму (в силу нелийненого взаимодействия между частицами), а механическая энергия переходит в тепловую. 

Механическая энергия системы <math>E\!\left(x\right)</math> складывается из кинетической энергии <math>K\!\left(x\right)</math> и потенциальной энергии <math>\Pi\!\left(x\right)</math> следующий образом:
<math>
\begin{equation}
	K\!\left( x \right) = \frac{m}{2}\dot u^2\!\left(x\right),
	\quad \Pi \!\left( x \right) = \frac{C_1}{2}\varepsilon^2\!\left(x\right),
	\quad E\!\left(x\right) = K\!\left(x\right) + \Pi\!\left(x\right),
	\label{energyEquations}
\end{equation}
</math>
где <math>\varepsilon\!\left(x\right)</math>~--- возникающие деформации.

Так как нас интересует энергия не всей системы (включающей тепловой шум), а только заданной механической волны, будем искать энергию первой синусоидальной моды. Перепишем выражения для энергий:
<math>
\begin{equation}
	K\!\left( x \right) = \frac{m}{2}\left(\int\limits_L \! \dot u\!\left(x\right) \sin\!\left( \frac{2 \pi x}{L} \right) \,\mathrm{d}x\right)^2
\end{equation}
</math>
<math>
\begin{equation}
	\Pi \!\left( x \right) = \frac{C_1}{2}\left(\int\limits_L \! \varepsilon\!\left(x\right) \cos\!\left( \frac{2 \pi x}{L} \right) \,\mathrm{d}x\right)^2
\end{equation}
</math>
<math>
\begin{equation}
	E\!\left(x\right) = \frac{m}{2}\left(\int\limits_L \! \dot u\!\left(x\right) \sin\!\left( \frac{2 \pi x}{L} \right) \,\mathrm{d}x\right)^2
	+ \frac{C_1}{2}\left(\int\limits_L \! \varepsilon\!\left(x\right) \cos\!\left( \frac{2 \pi x}{L} \right) \,\mathrm{d}x\right)^2
\end{equation}
</math>
Первая синусоидальная мода также возникает и в тепловом шуме. Математическое ожидание от её энергии вычислим, усреднив по ансамблю реализаций систему без заданной волны.

Определим значения <math>K\!\left(x\right)</math> и <math>\Pi\!\left(x\right)</math> при <math>t = 0</math>:
<math>
\begin{equation}
	K\!\left( x \right)|_{t=0} = \frac{m}{2}\left(A \int\limits_L \! \sin^2\!\left( \frac{2 \pi x}{L} \right) \,\mathrm{d}x\right)^2,
\end{equation}
</math>
<math>
\begin{equation}
	\label{initialPotentialEnergy}
	\Pi\!\left( x \right)|_{t=0} = \frac{C_1}{2}\left( \int\limits_L \! \varepsilon\!\left(x\right)|_{t = 0} \cos\!\left( \frac{2 \pi x}{L} \right) \,\mathrm{d}x\right)^2 
\end{equation}
</math>

Интеграл в формуле (\ref{initialPotentialEnergy}) равен нулю в случае стоячей волны (в начальный момент времени нет деформаций). Покажем, что этот интеграл также будет равен нулю в случае бегущей волны:
<math>
\begin{equation}
	\begin{split}
		& \int\limits_L \! \varepsilon\!\left(x\right)|_{t = 0} \cos\!\left( \frac{2 \pi x}{L} \right) \,\mathrm{d}x = 
		A \int\limits_L \! \sin\!\left(\frac{2 \pi x}{L}\right) \cos\!\left( \frac{2 \pi x}{L} \right) \,\mathrm{d}x = \\
		& = \frac{A}{2} \int\limits_L \! \sin\!\left(\frac{4 \pi x}{L}\right) \,\mathrm{d}x = 0.
	\end{split}
\end{equation}
</math>

То есть, в начальный момент времени потенциальная энергия равна нулю, а механическая энергия задаваемой волны равна
<math>
\begin{equation}
	\label{initialMechanicalEnergy}
	E\!\left( x \right)|_{t=0} = \frac{m}{2}\left(A \int\limits_L \! \sin^2\!\left( \frac{2 \pi x}{L} \right) \,\mathrm{d}x\right)^2 = \frac{m A^{2} L^{2}}{8}
\end{equation}
</math>

Значение (\ref{initialMechanicalEnergy}) выберем в качестве масштаба энергии.

Чтобы определить закон, по которому происходит переход механической энергии в тепловую, введём безразмерный параметр <math>E^*\!\left( x \right) = \frac{E\!\left( x \right)}{E\!\left( x \right)|_{t=0}}</math>~--- нормированное значение механической энергии цепочки:
<math>
\begin{equation}
	E^* = \left( \frac{\int\limits_L \! \dot u\!\left(x\right) \sin\!\left( \frac{2 \pi x}{L} \right) \,\mathrm{d}x}{A \int\limits_L \! \sin^2 \left( \frac{2 \pi x}{L} \right)  \,\mathrm{d}x} \right)^2 + 
	\omega_0^2 \left( \frac{\int\limits_L \! \varepsilon\!\left(x\right) \cos\!\left( \frac{2 \pi x}{L} \right) \,\mathrm{d}x}{A \int\limits_L \! \sin^2 \left( \frac{2 \pi x}{L} \right)  \,\mathrm{d}x} \right)^2.
\end{equation}
</math>

Решение задачи свелось к нахождению <math>E^*\!\left( x \right)</math>.

=== Численное решение дифференциального уравнения ===

Для решения системы уравнений движения~(\ref{chainEquations}) воспользуемся методом центральных разностей. Перепишем граничные условия~(\ref{boundaryConditions}):
<math>
\begin{equation}
	u_{k + N} = u_{k}, \quad \dot u_{k + N} = \dot u_{k},
\end{equation}
</math>
где <math>N \gg 1</math>~--- число независимых частиц.

Вычисление правой части~(\ref{chainEquations}) аналогично решению с помощью разностной схемы. Рассчитанные таким образом ускорения частиц пересчитываем в скорости:
<math>
\begin{equation}
	\dot u_k\!\left(t + \Delta t\right) = \dot u_k\!\left(t\right) + \ddot u_k\!\left(t\right)\Delta t.
\end{equation}
</math>

Затем скорости пересчитываем в смещения частиц. Важно отметить, что по данному методу расчёт скоростей производится на промежуточных шагах по времени относительно расчёта смещений. 
<math>
\begin{equation}
	u_k\!\left(t + \Delta t\right) = u_k\!\left(t\right) + \dot u_k\!\left(t\right)\Delta t.
\end{equation}
</math>

Значение <math>\varepsilon\!\left(x\right)</math> вычисляем следующим образом:
<math>
\begin{equation}
	\varepsilon = \sum_{i = 1}^{N - 1} \left(u_{i} - u_{i - 1}\right).
\end{equation}
</math>

=== Параметры расчёта ===

Для достоверного численного решения дифференциального уравнения относительно <math>\left(u\!\left(x\right), \dot u\!\left(x\right)\right)</math> длина цепочки должна стремиться к бесконечной, чтобы соответствовать модели идеального кристалла. При проведении численных экспериментов удовлетворительная точность расчётов достигалась на цепочках из 10 миллионов частиц и более.

Статистические характеристики системы также можно вычислить путём усреднения бесконечного множества реализаций (каждая реализация~--- задача Коши для цепочки). Благодаря этому подходу, предложенному в работах \cite{art1}, \cite{art2}, достигается эффективность проводимых численных экспериментов. 

Результаты, приводимые далее, получены усреднением <math>5 \cdot 10^4</math> реализаций цепочки c <math>N = 10^3</math> (за исключением <math>\rho</math> все параметры в рамках серии сохранялись). Такая конфигурация будет аналогична модели кристалла с 50 миллионами частиц, но допускает параллельный компьютерный расчёт реализаций. Проведение параллельного моделирования коротких цепочек на суперкомпьютерных системах привело к сушественному сокращению общего времени вычислений.

По мере повышения величины дисперсии <math>\sigma_v^2</math> шаг по времени <math>\Delta t</math> следует уменьшать. Иначе влияние нелинейной компоненты силы приводит к разрушению системы, эта неустойчивость связана с нарушением условия Куранта. Однако, уменьшение <math>\Delta t</math> увеличивает время, требуемое для проведения численного моделирования. Так как численно <math>\sigma_v^2</math> соответствует отношению тепловой энергии в кристалле к энергии механической волны, её значение в реальных системах на несколько порядков превышает исследуемое в рамках данной работы.

В качестве масштаба времени возьмём период колебаний материальной точки массы <math>m</math> на пружине жёсткости <math>C_1</math>:
<math>
\begin{equation}
	\quad T_0~\mathrel{\stackrel{\rm def}=} \frac{2 \pi}{\omega_0} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{C_1}}.
\end{equation}

</math>

Параметры при моделировании стоячей волны
{| class="wikitable"
|-
! <math>\sigma_v^2</math> !! <math>\Delta \sigma_v^2</math>  !! <math>\Delta t</math>  !! Постоянные параметры
|-
| <math>[0; 14]</math> || <math>1</math> || <math>0.05~T_0</math> || <math>\omega_0 = 1, \quad \alpha_0 = 1, \quad A = 0.01</math>
|-
| <math>[15; 60]</math> || <math>5</math> || <math>0.05~T_0</math> || <math>\omega_0 = 1, \quad \alpha_0 = 1, \quad A = 0.01</math>
|-
| <math>[65; 75]</math> || <math>5</math> || <math>0.005~T_0</math> || <math>\omega_0 = 1, \quad \alpha_0 = 1, \quad A = 0.01</math>
|-
| <math>[80; 100]</math> || <math>5</math> || <math>0.005~T_0</math> || <math>\omega_0 = 1, \quad \alpha_0 = 1, \quad A = 0.01</math>
|}

Параметры при моделировании бегущей волны
{| class="wikitable"
|-
! <math>\sigma_v^2</math> !! <math>\Delta \sigma_v^2</math>  !! <math>\Delta t</math>  !! Постоянные параметры
|-
| <math>[0; 10]</math> || <math>1</math> || <math>0.05~T_0</math> || <math>\omega_0 = 1, \quad \alpha_0 = 1, \quad A = 0.01</math>
|-
| <math>[15; 195]</math> || <math>5</math> || <math>0.05~T_0</math> || <math>\omega_0 = 1, \quad \alpha_0 = 1, \quad A = 0.01</math>
|-
| <math>[200; 300]</math> || <math>5</math> || <math>0.005~T_0</math> || <math>\omega_0 = 1, \quad \alpha_0 = 1, \quad A = 0.01</math>
|}

Значения параметров проводимых экспериментов приведены в таблицах~\ref{standingWaveParameters} и~\ref{runningWaveParameters}. Моделируемое время ограничено: <math>0 \leq t \leq 7 \cdot 10^4~T_0</math>.

== Результаты ==

=== Преобразование механической энергии стоячей волны ===

На рисунке~\ref{standingWave} приведены вычисленные значения нормированной механической энергии стоячей волны <math>E^*\!\left(\tau\right)</math> для нескольких значений <math>\sigma_v^2</math> (здесь и далее <math>\tau = \frac{t}{T_0}</math> – безразмерное время).

<math>
\begin{figure}[!htb]
		\center{\input{Data/Energy/sw.tex}}
		\caption{Изменение нормированной механической энергии стоячей волны в зависимости от $t$}
		\label{standingWave}
\end{figure}
</math>

Для одномерного кристалла при отсутствии теплового шума (<math>\sigma_v^2 = 0</math>) была установлена \cite{presTsvetkovAPM16} следующая зависимость для механической энергии волны:

<math>
\begin{equation}
	E^* \sim e^{-\tau^2}.
	\label{expectationTau2}
\end{equation}
</math>

Подобная зависимость не выполняется при ненулевой дисперсии скоростей частиц цепочки: механическая энергия убывает быстрее при бóльших значениях <math>\sigma_v^2</math>. Предположим, что <math>E^*</math> уменьшается по модифицированному экспоненциальному закону и показатель степени при <math>\tau</math> в общем случае неизвестен:

<math>
\begin{equation}
	E^* = e^{-\alpha \tau^\beta},
	\label{expectationTauBeta}
\end{equation}
</math>
где <math>\beta</math>~--- функция от <math>\sigma_v^2</math>, <math>\alpha</math>~--- функция от <math>\sigma_v^2</math> и <math>\lambda</math>.

В рамках гипотезы~(\ref{expectationTauBeta}) <math>\beta</math> имеет определённое значение для каждого значения <math>\sigma_v^2</math>. При <math>\sigma_v^2 = 0</math> показатель <math>\beta = 2</math>~\cite{presTsvetkovAPM16}, по мере же увеличения <math>\sigma_v^2</math>, согласно рисунку~\ref{standingWave}, величина <math>\beta</math> должна уменьшаться.

Если выражение~(\ref{expectationTauBeta}) верно, то показатель <math>\beta</math> в зависимости от величины теплового шума можно определить, перестроив график энергии~\ref{standingWave} в логарифмических осях.

<math>
\begin{equation}
	\begin{split}
		E^* & = e^{-\alpha \tau^\beta} \Rightarrow \\
		\Rightarrow \ln\!\left(E^*\right) & = -\alpha \tau^\beta \Rightarrow \\
		\Rightarrow \ln\!\left(-\ln\!\left(E^*\right)\right) & = \ln\!\left(\alpha \tau^\beta\right) \Rightarrow \\
		\Rightarrow \ln\!\left(\ln\!\left(\frac{1}{E^*}\right)\right) & = \ln\!\left(\alpha\right) + \ln\!\left(\tau^\beta\right) \Rightarrow \\
		\Rightarrow \ln\!\left(\ln\!\left(\frac{1}{E^*}\right)\right) & = \ln\!\left(\alpha\right) + \beta\ln\!\left(\tau\right). 
	\end{split}
	\label{expectationTauBetaLine}
\end{equation}
</math>

Обозначим <math>\ln\!\left(\tau\right)</math> за <math>x</math>, а <math>\ln\!\left(\ln\!\left(\frac{1}{E^*}\right)\right)</math> за <math>y</math>, тогда уравнение~(\ref{expectationTauBetaLine}) сводится к линейному. Угол наклона прямой в осях <math>\left(\ln\!\left(\tau\right); \ln\!\left(\ln\!\left(\frac{1}{E^*}\right)\right) \right)</math>, выраженный в радианах, будет численно равен <math>\beta</math> для определённого значения дисперсии.
<math>
\begin{equation}
	y\!\left(x\right) = \ln\!\left(\alpha\right) + \beta x
	\label{lineEquation}
\end{equation}
</math>

<math>
\begin{figure}[!htb]
		\center{\input{Data/Energy/swLine.tex}}
		\caption{Изменение механической энергии стоячей волны с течением времени в логарифмических осях}
		\label{standingWaveLine}
\end{figure}
</math>

Соответствующее~(\ref{expectationTauBetaLine}) преобразование графика энергии приведено на рисунке~\ref{standingWaveLine}. Получившиеся функции действительно аппроксимируются наклонными прямыми, что подтверждает высказанную гипотезу~(\ref{expectationTauBeta}).

<math>
\begin{figure}[!htb]
		\center{\input{Data/Beta/swNoLine.tex}}
		\caption{Значения $\beta$ при разных значениях дисперсии, стоячая волна}
		\label{standingWaveBeta}
\end{figure}
</math>

Найденные значения <math>\beta</math> приведены на рисунке~\ref{standingWaveBeta}. Тепловая энергия в реальном материале может превосходить механическую на несколько порядков. Чтобы оценить значение <math>\beta</math> в таком случае, построим аппроксимацию этого графика и определим предельное значение показателя при условии <math>\sigma_v^2 \rightarrow \infty</math>.

Перестроим график из осей <math>\left(\sigma_{v}^{2} ; \beta \right)</math> в <math>\left(\ln\!\left(\sigma_{v}^{2}\right) ; \ln\!\left(\beta - 1\right) \right)</math>. Результат приведён на рисунке~\ref{standingWaveBetaLog}. Начиная с <math>x = 1.5</math> значения могут быть аппроксимированы прямой:

<math>
\begin{equation}
	y\!\left(x\right) = \ln\!\left(1.08\right) - 0.25 x,
	\label{standingWaveApproximation}
\end{equation}
</math>
где <math>x = \ln\!\left(\sigma_{v}^{2}\right)</math>, <math>y = \ln\!\left(\beta\right)</math>. 

Выражая из~(\ref{standingWaveApproximation}) функцию <math>\beta</math>, получаем следующее:

<math>
\begin{equation}
	\beta \! \left(\sigma_{v}^{2} \right) = 1 + \frac{1.08}{\sqrt[4]{\sigma_{v}^{2}}} = 1 + \frac{1.08}{\sqrt{\sigma_{v}}},
	\label{standingWaveApproximation2}
\end{equation}
</math>
где <math>\sigma_{v}</math>~--- среднеквадратическое отклонение скоростей частиц, отнесённое к своему начальному значению (при <math>\tau~=~0</math>).

<math>
\begin{figure}[!htb]
		\center{\input{Data/Beta/swLog.tex}}
		\caption{Значения функции $\beta \! \left(\sigma_{v}^{2} \right)$ в логарифмических осях, стоячая волна}
		\label{standingWaveBetaLog}
\end{figure}
</math>

<math>
\begin{figure}[!htb]
	\begin{subfigure}{\linewidth}
		\center{\input{Data/Beta/sw.tex}}
		\caption{}
	\end{subfigure}
	\par\medskip
	\begin{subfigure}{\linewidth}
		\center{\input{Data/Beta/swLongLine.tex}}
		\caption{}
	\end{subfigure}
	\caption{Аппроксимация графика $\beta$, стоячая волна}
	\label{standingWaveBetaApproximation}
\end{figure}
</math>

Аппроксимированный график <math>\beta</math> от <math>\sigma_{v}^{2}</math> приведён на рисунке~\ref{standingWaveBetaApproximation} (сверху). Найдём предельное значение <math>\beta</math>:

<math>
\begin{equation}
	\lim_{\sigma_{v}^{2} \to \infty} \beta \! \left(\sigma_{v}^{2} \right) = 
	\lim_{\sigma_{v}^{2} \to \infty} 1 + \frac{1.08}{\sqrt[4]{\sigma_{v}^{2}}} = 1 + \frac{1.08}{\infty} = 1.
	\label{standingWaveLimit}
\end{equation}
</math>

Можно считать, для больших значений <math>\sigma_{v}^{2}</math> механическая энергия будет переходить в тепловую по закону <math>E^* = e^{-\alpha \tau}</math>. Сходимость <math>\beta</math> к единице также видна на рисунке~\ref{standingWaveBetaApproximation} (снизу). Уже при <math>\sigma_{v} = 12 \cdot 10^3</math> ошибка в определении <math>\beta</math> единицей составит менее процента. 

<math>
\begin{figure}[!htb]
		\center{\input{Data/Alpha/swLog.tex}}
		\caption{Аппроксимация графика $\alpha$, стоячая волна}
		\label{standingWaveAlphaApproximation}
\end{figure}
</math>

Исследуем поведение <math>\alpha</math> в зависимости от величины теплового шума. Для этого воспользуемся уравнениями прямых, полученных аппроксимацией механической энергии <math>E^*</math> в логарифмических осях (см. рисунок~\ref{standingWaveBetaLog}). Подставив в уравнение (\ref{lineEquation}) <math>x = 0</math>, определим значения <math>\ln\!\left(\alpha\right)</math> как функции от <math>\sigma_{v}^{2}</math>. Результат приведён на рисунке~\ref{standingWaveAlphaApproximation}. Была получена следующая формула для аппроксимации <math>\alpha</math>:

<math>
\begin{equation}
	\ln\!\left(\alpha\right) = \ln\!\left(0.14\right) - \frac{50}{5 + \sqrt{\sigma_{v}^{2}}} = \ln\!\left(0.14\right) - \frac{50}{5 + \sigma_{v}}.
	\label{standingWaveAlpha}
\end{equation}
</math>

Аналогично выражению для <math>\beta</math>, уравнение \ref{standingWaveAlpha} имеет предельное значение при <math>\sigma_{v}^{2}~\to~\infty</math>:

<math>
\begin{equation}
	\lim_{\sigma_{v}^{2} \to \infty} \ln\!\left(\alpha\right) = \lim_{\sigma_{v}^{2} \to \infty} \left( \ln\!\left(0.14\right) - \frac{50}{5 + \sqrt{\sigma_{v}^{2}}} \right) = \ln\!\left(0.14\right).
	\label{standingWaveAlphaLimit}
\end{equation}
</math>

Отсюда следует, что 
<math>
\begin{equation}
	\lim_{\sigma_{v}^{2} \to \infty} \alpha = 0.14.
	\label{standingWaveAlphaLimit2}
\end{equation}
</math>

При <math>\sigma_{v}^{2} = 12 \cdot 10^3</math> значение <math>\alpha</math> отличается от предельного примерно на <math>0.2\%</math>.

Дополнительное рассмотрение цепочек с кратным числом частиц привело к следующему результату: уменьшение длины кристалла в <math>2</math> раза приводит к увеличению предельного значения <math>\alpha</math> в <math>4</math> раза. То есть, <math>\alpha \sim k^{2}</math> (<math>k</math>~--- волновое число, <math>k \sim \frac{1}{\lambda}</math>). Таким образом, в реальных материалах изменение нормированной механической энергии <math>E^*</math> может быть описано экспоненциальным законом:

<math>
\begin{equation}
	E^*\!\left(\tau\right) = e^{-0.14 k_{*}^{2} \tau},
	\label{energySolution}
\end{equation}
</math>

где <math>k_{*} = \frac{k}{k_{1000}}</math>, <math>k_{1000}</math>~--- значение <math>k</math> при <math>N = 1000</math>.

Сравним полученную зависимость с решением уравнения продольных колебаний стержня с внутренним трением. В используемых обозначениях уравнение колебаний может быть записано таким образом:
<math>
\begin{equation}
	\frac{\partial^2 u}{\partial \tau^2} = \frac{E T_{0}^{2}}{\rho a^2} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} 
	+ 2 \gamma \frac{\partial^3 u}{\partial \tau \partial x^2},
	\label{oscillationEquation}
\end{equation}
</math>
где <math>E</math>~--- модуль Юнга, <math>\rho</math>~--- плотность, <math>2 \gamma</math>~--- безразмерный коэффициент при диссипативном члене, <math>x</math>~--- безразмерная переменная расстояния.

Решение дифференциального уравнения~(\ref{oscillationEquation}) имеет вид:

<math>
\begin{equation}
	u = \frac{A_{c}}{\omega_{c}} e^{-\gamma k_{c}^{2} \tau} \sin\!\left( \omega_{c} \tau \right) \sin\!\left( k_{c} x \right),
	\label{oscillationEquationSolution}
\end{equation}
</math>

где <math>\omega_{c} = k_{c} \sqrt{\frac{E T_{0}^{2}}{\rho a^2} - \gamma}</math>, <math>k_{c} = \frac{a}{2} k</math>, <math>A_{c} = \frac{a}{T0} A</math>.

Данный результат был представлен в работе~\cite{aristovich2006oscillations} и хорошо согласуется с формулой~(\ref{standingWaveEquation2}), переписанной в безразмерных величинах:
<math>
\begin{equation}
	u = \frac{A_{c}}{\hat{\omega_{c}}} e^{- 0.14 k_{*}^{2} \tau} \sin\!\left( \hat{\omega_{c}} \tau \right) \sin\!\left( k_{*} x \right),
	\label{standingWaveEquation3}
\end{equation}
</math>

где <math>\hat{\omega_{c}} = T_{0} \omega_{0}.</math>

Сопоставим решение~(\ref{oscillationEquationSolution}) с~(\ref{standingWaveEquation3}) и определим значений <math>\gamma</math>:
<math>
\begin{equation}
	\gamma = 0.14 \left(\frac{k_{*}}{k_{c}} \right)^{2} = 0.14 \left( \frac{k}{k_{1000}} \frac{1}{k a} \right)^{2} = 0.14 \left(\frac{1000}{N} \frac{N}{2 \pi} \right)^{2} \approx 3550.
\end{equation}
</math>

Покажем необратимость преобразования механической энергии в тепловую. Парадокс Ферми-Паста-Улама продемонстрировал явление возврата формы и механической энергии волны \cite{fermi1965crystal}. Обратный переход энергии цепочки в механическую энергию был описан для одномерного нелинейного кристалла без теплового движения \cite{tsvetkov2015heatIn1D}. Такой переход также был экспериментально получен в данной работе. Рассмотрим влияние теплового шума на этот процесс.

На рисунке~\ref{returningEnergy} можно заметить дополнительный изгиб графика энергии <math>E^*\!\left(T\right)</math> при малых значениях <math>\sigma_v^2</math>. Так, для <math>\sigma_v^2 = 0</math> возврат механической энергии наблюдается примерно в диапазоне от <math>\tau=60</math> до <math>\tau=75</math>. Для <math>\sigma_v^2 = 1</math> этот диапазон уже: от <math>\tau=65</math> до <math>\tau=70</math>, при этом прирост энергии значительно меньше. Для высоких значений <math>\sigma_v^2</math> обратный переход энергии не удаётся продемонстрировать. Можно утверждать, что процесс преобразования механической энергии в тепловую в больших системах с высокими значениями отношения тепловой энергии к механической (соответствует реальным системам) является необратимым.

<math>
\begin{figure}[!htb]
		\center{\input{Data/Energy/swLong.tex}}
		\caption{Изменение энергии стоячей волны}
		\label{returningEnergy}
\end{figure}
</math>

=== Преобразование механической энергии бегущей волны ===

Рассмотрим график убывания механической энергии бегущей волны с течением времени (рисунок~\ref{runningWave}). Качественно он совпадает с графиком энергии стоячей волны (рисунок~\ref{standingWave}). При отсутствии теплового шума для энергии волны также выполняется равенство~(\ref{expectationTau2}).

Чтобы найти зависимость <math>\beta\!\left(\sigma_v^2\right)</math>, аналогичным образом перестроим график энергии <math>E^{*}\!\left(\tau\right)</math> в логарифмических осях (см. рисунок~\ref{runningWaveLine}) и определим угол наклона <math>\beta</math>.

Вид <math>\beta</math> приведён на рисунке~\ref{runningWaveBetaApproximation}. Аппроксимация также была получена переводом осей <math>\left(\sigma_{v}^{2} ; \beta \right)</math> в <math>\left(\ln\!\left(\sigma_{v}^{2}\right) ; \ln\!\left(\beta\right)\right)</math> (см. рисунок~\ref{runningWaveBetaLog}).

<math>
\begin{figure}[!htb]
		\center{\input{Data/Energy/rw.tex}}
		\caption{Изменение энергии бегущей волны в зависимости от $\tau$}
		\label{runningWave}
\end{figure}
</math>

<math>
\begin{figure}[!htb]
		\center{\input{Data/Energy/rwLine.tex}}
		\caption{Изменение механической энергии стоячей волны с течением времени в логарифмических осях}
		\label{runningWaveLine}
\end{figure}
</math>

Для <math>\beta</math> был получен следующий вид уравнения аппроксимации:

<math>
\begin{equation}
	\beta \! \left(\sigma_{v}^{2} \right) = 1 + \frac{1.55}{\sqrt[4]{\sigma_{v}^{2}}} = 1 + \frac{1.55}{\sqrt{\sigma_{v}}}.
	\label{runningWaveApproximation}
\end{equation}
</math>

При условии, что <math>\sigma_{v}^{2} \to \infty</math>, значение~(\ref{runningWaveApproximation}) стремится к единице, аналогично~(\ref{standingWaveLimit}) в случае стоячей волны.

Значения <math>\alpha</math> для различных <math>\sigma_{v}^{2}</math> также были получены (рисунок~\ref{runningWaveAlphaLog}). Предел аппроксимирующей функции~(\ref{standingWaveAlpha}) равен соответствующему значению~(\ref{standingWaveAlphaLimit2}) для стоячей волны. Таким образом, в реальных материалах формула~(\ref{energySolution}) для механической энергии выполняется вне зависимости от типа заданной механической волны.

На рисунке~\ref{runningAndStandinsWavesBeta} приведён график значений <math>\beta</math> для стоячей волны, растянутый по горизонтальной оси в 4 раза. В таком масштабе экспериментальные значения <math>\beta</math> для бегущей и стоячей волн могут быть аппроксимированы одной и той же кривой (заданной уравнением~(\ref{runningWaveApproximation})). То есть, в случае бегущей волны было получено в 4 раза более медленное убывание механической энергии, чем в случае стоячей. Такая же пропорциональность наблюдается для значений <math>\alpha</math> (см. рисунок~\ref{runningAndStandinsWavesAlpha}).

<math>
\begin{equation}
	\ln\!\left(\alpha\right) = \ln\!\left(0.14\right) - \frac{97.5}{9.5 + \sqrt{\sigma_{v}^{2}}} = \ln\!\left(0.14\right) - \frac{97.5}{9.5 + \sigma_{v}}.
	\label{runningWaveAlpha}
\end{equation}
</math>

<math>
\begin{figure}[!htb]
		\center{\input{Data/Beta/rw.tex}}
		\caption{Аппроксимация графика $\beta$, бегущая волна}
		\label{runningWaveBetaApproximation}
\end{figure}
</math>

<math>
\begin{figure}[!htb]
		\center{\input{Data/Beta/rwLog.tex}}
		\caption{Значения функции $\beta \! \left(\sigma_{v}^{2} \right)$ в логарифмических осях, бегущая волна}
		\label{runningWaveBetaLog}
\end{figure}
</math>

<math>
\begin{figure}[!htb]
		\center{\input{Data/Alpha/rwLog.tex}}
		\caption{Значения функции $\alpha \! \left(\sigma_{v}^{2} \right)$ в логарифмических осях, бегущая волна}
		\label{runningWaveAlphaLog}
\end{figure}
</math>

<math>
\begin{figure}[!htb]
		\center{\input{Data/Beta/rw_sw.tex}}
		\caption{Сравнение значений $\beta$ для стоячей волны (в масштабе 4:1) и для бегущей волны}
		\label{runningAndStandinsWavesBeta}
\end{figure}
</math>

Также одним из результатов поставленных компьютерных экспериментов является обнаружение влияния теплового шума на развал скорости задаваемой механической волны. В случае нулевой дисперсии (<math>\sigma_v^2 = 0</math>) наклон графика скорости волны возрастает вплоть до критического значения, после чего образуется дополнительный колебательный процесс (рисунок~\ref{waveEvolution}, слева). Свойства этого процесса были изучены \cite{alexandrov2016solitons}. Однако увеличение <math>\sigma_v^2</math>, как было показано ранее, приводит к росту скорости убывания энергии волны и, как следствие, качественно влияет на процесс развала (рисунок~\ref{waveEvolution}, справа).

Нагляднее это влияние можно рассмотреть на рисунке~\ref{waveAt27T0}, где приведено развитие скоростей механической волны для разных значений дисперсии по состоянию на один и тот же момент времени. При <math>\sigma_v^2 = 5</math> побочный колебательный процесс выражен неявно, а при <math>\sigma_v^2 = 20</math> вовсе отсутствует. Объясняется это тем, что затухание волны происходит слишком быстро, и наклон графика не достигает критического значения.

При достаточно <math>\sigma_{v}^{2}</math> амплитуда волны продолжает падать, но форма остаётся практически неизменной. На рисунке~\ref{waveAt115T0} видно, что график скоростей в кристалле со значением <math>\sigma_v^2~=~7</math> и при <math>\tau~=~115.5</math> по форме близок к графику начального возмущения (см. рисунок~\ref{runningWaveInitialConditions}).

<math>
\begin{figure}[!htb]
		\center{\input{Data/Alpha/rw_swLog.tex}}
		\caption{Сравнение значений $\alpha$ для стоячей волны (в масштабе 4:1) и для бегущей волны}
		\label{runningAndStandinsWavesAlpha}
\end{figure}
</math>

<math>
\begin{figure}[!htb]
	\begin{subfigure}{\linewidth}
		\scalebox{0.6}{\input{Data/WaveBreaking/f0t770.tex}}\hfill
		\scalebox{0.6}{\input{Data/WaveBreaking/f7t770.tex}}
	\end{subfigure}
	\par\medskip
	\caption{Скорость механической волны на момент $\tau~=~115.5$ для $\sigma_v^2~=~0$ (слева) и $\sigma_v^2~=~7$ (справа)}
	\label{waveAt115T0}
\end{figure}
</math>

<math>
\begin{figure}[!htb]
	\begin{subfigure}{\linewidth}
		\scalebox{0.6}{\input{Data/WaveBreaking/f0t180.tex}}\hfill
		\scalebox{0.6}{\input{Data/WaveBreaking/f1t180.tex}}
		\caption{$\sigma_v^2 = 0$ (слева), $\sigma_v^2 = 1$ (справа)}
	\end{subfigure}
	\par\medskip
	\begin{subfigure}{\linewidth}
		\scalebox{0.6}{\input{Data/WaveBreaking/f5t180.tex}}\hfill
		\scalebox{0.6}{\input{Data/WaveBreaking/f20t180.tex}}
		\caption{$\sigma_v^2 = 5$ (слева), $\sigma_v^2 = 20$ (справа)}
	\end{subfigure}
	\par\medskip
	\caption{Скорость механической волны на момент $\tau = 27.0$ для разных значений $\sigma_v^2$}
	\label{waveAt27T0}
\end{figure}
</math>

<math>
\begin{figure}[!htb]
	\begin{subfigure}{\linewidth}
		\scalebox{0.5}{\input{Data/WaveBreaking/f0t1.tex}}\hfill
		\scalebox{0.5}{\input{Data/WaveBreaking/f1t1.tex}}
		\caption{$\tau = 0$}
	\end{subfigure}
	\par\medskip
	\begin{subfigure}{\linewidth}
		\scalebox{0.5}{\input{Data/WaveBreaking/f0t100.tex}}\hfill
		\scalebox{0.5}{\input{Data/WaveBreaking/f1t100.tex}}
		\caption{$\tau = 15.0$}
	\end{subfigure}
	\par\medskip
	\begin{subfigure}{\linewidth}
		\scalebox{0.5}{\input{Data/WaveBreaking/f0t150.tex}}\hfill
		\scalebox{0.5}{\input{Data/WaveBreaking/f1t150.tex}}
		\caption{$\tau = 22.5$}
	\end{subfigure}
	\par\medskip
	\begin{subfigure}{\linewidth}
		\scalebox{0.5}{\input{Data/WaveBreaking/f0t250.tex}}\hfill
		\scalebox{0.5}{\input{Data/WaveBreaking/f1t250.tex}}
		\caption{$\tau = 37.5$}
	\end{subfigure}
	\par\medskip
	\begin{subfigure}{\linewidth}
		\scalebox{0.5}{\input{Data/WaveBreaking/f0t350.tex}}\hfill
		\scalebox{0.5}{\input{Data/WaveBreaking/f1t350.tex}}
		\caption{$\tau = 52.5$}
	\end{subfigure}
	\par\medskip
	\caption{Эволюция скорости механической волны для $\sigma_v^2~=~0$ (слева) и $\sigma_v^2~=~1$ (справа)}
	\label{waveEvolution}
\end{figure}
</math>

== Заключение ==

В работе проведено исследование перехода механической энергии в тепловую в одномерном кристалле. В качестве модели кристалла рассмотрена цепочка частиц одинаковой массы. Взаимодействие между частицами нелинейное: выражения для сил содержат квадратичную зависимость от расстояния между частицами.

Начальная механическая энергия системы задана с помощью синусоидальной волны. Рассмотрены две постановки: стоячая волна и бегущая волна, распространяющаяся в одном направлении. Начальные скорости частиц определены таким образом, чтобы удовлетворить равномерному температурному профилю в начальный момент времени.

В качестве меры механической энергии системы <math>E^*</math> взято отношение энергии волны к её начальному значению. Для проведения исследования введён безразмерный параметр <math>\sigma_v^2</math>, характеризующий величину дисперсии флуктуаций скоростей в цепочке и равный отношению тепловой энергии к механической в начале расчёта.

Заданная механическая энергия с течением времени переходит в тепловую. Продемонстрирована необратимость этого процесса, а также зависимость скорости перехода от <math>\sigma_v^2</math>: при увеличении дисперсии механическая энергия убывает быстрее. Функция убывания описана с помощью модифицированного экспоненциального закона: <math>E^* = e^{-\alpha \tau ^{\beta}}</math>, где <math>\tau</math> – безразмерное время процесса, <math>\beta</math> и <math>\alpha</math>– функции от <math>\sigma_v^2</math>.

Зависимость <math>\alpha \! \left( \sigma_v^2 \right)</math> и <math>\beta \! \left( \sigma_v^2 \right)</math> получены экспериментально для серии <math>\sigma_v^2</math>. Предложены аппроксимации этих функций для стойчей и бегущей волн. 

<math>
	\beta \! \left(\sigma_{v}^{2} \right) = 1 + \frac{1.08}{\sqrt{\sigma_{v}}},
	\quad \alpha \! \left(\sigma_{v}^{2} \right) = 0.14 \exp\!\left(- \frac{50}{5 + \sigma_{v}}\right),
</math>

<math>
	\beta \! \left(\sigma_{v}^{2} \right) = 1 + \frac{1.55}{\sqrt{\sigma_{v}}},
	\quad \alpha \! \left(\sigma_{v}^{2} \right) = 0.14 \exp\!\left(- \frac{97.5}{9.5 + \sigma_{v}}\right),
</math>

где <math>\sigma_{v}</math> – среднеквадратическое отклонение скоростей частиц кристалла.

Показано, что энергия стоячей волны убывает в 4 раза быстрее энергии бегущей волны при одних параметрах эксперимента. Продемонстрированы предельные значения <math>\beta</math>:
* <math>\beta = 2</math> при <math>\sigma_v^2 = 0</math>;
* <math>\beta \rightarrow 1</math> при <math>\sigma_v^2 \rightarrow \infty</math>.

Показано влияние скорости убывания <math>E^*</math> на развал бегущей волны и, как следствие, образование дополнительного колебательного процесса. При больших значениях <math>\sigma_v^2</math> волна сохраняет свою первоначальную форму, развал не происходит из-за слишком быстрого перехода механической энергии волны в тепловую.

Результаты работы были получены с использованием вычислительных ресурсов суперкомпьютерного центра Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого. Каждый расчёт производился на отдельном ядре CPU с использованием технологии MPI, одновременно задействовалось <math>1000</math> ядер. Таким образом, для получения <math>5 \cdot 10^4</math> реализаций вычисления повторялись <math>50</math> раз, в среднем общее время моделирования для одного значения <math>\sigma^{2}_{v}</math> составило <math>20</math> минут при шаге <math>\Delta t = 0.05 T_0</math>, <math>6</math> часов при <math>\Delta t = 0.005 T_0</math> и <math>12</math> часов при <math>\Delta t = 0.0005 T_0</math> (<math>T_0</math> – заданный масштаб времени).

Автор благодарен Д. В. Цветкову за полезные обсуждения. 

== Список литературы ==
<references>