Редактирование: Преобразование механической энергии в тепловую в одномерном кристалле

'''''Выпускная квалификационная работа'''''

'''Выполнил:''' студент группы 43604/1 [[Старобинский Егор|Е. Б. Старобинский]]

'''Руководитель:''' доктор физ.-мат. наук, член-корр. РАН [[Кривцов Антон | А. М. Кривцов]]

== Введение ==
Cовременные нанотехнологии позволяют получать практически идеальные (бездефектные) материалы<ref>Yenny et al. Hernandez. High-yield production of graphene by liquid-phase exfoliation of graphite. Nature Nanotechnology, 3:563–568, 2008.</ref><ref>Xiaolin et al. Li. Highly conducting graphene sheets and langmuir-blodgett films. Nature Nanotechnology, 3:538–542, 2008.</ref>, отличающиеся по своим свойствам от материалов с дефектами<ref>L. Shi et al. Evaluating broader impacts of nanoscale thermal transport research. Nanoscale and Microscale Thermophysical Engineering, 19:127–165, 2015.</ref>. В частности, тепловые процессы в таких наноструктурах протекают по иным, более сложным законам, чем для тел макроуровня. Знание этих законов и особенностей поведения наносистем имеет большое практическое значение при разработке новых устройств<ref>Kostya S Novoselov, Andre K Geim, Sergei V Morozov, D Jiang, Y Zhang, Sergey V Dubonos, Irina V Grigorieva, and Alexandr A Firsov. Electric field effect in atomically thin carbon films. Science, 306(5696):666–669, 2004.</ref><ref>Z. Xu, G. Tai, Y. Zhou, F. Gao, and K. H. Wong. Self-charged graphene battery harvests electricity from thermal energy of the environment. ArXiv e-prints, 2012.</ref> и расширении области применения наноматериалов, в том числе на промышленном уровне. Однако описание наносистем с помощью существующих моделей сопряжено с существенными противоречиями экспериментальным данным, что связано как с отсутствием цельной теории, позволяющей описывать процессы наноуровня, так и с трудоёмкостью проведения натурных экспериментов. Компромиссом является численное моделирование наноструктур, при котором поведение материала является прямым следствием уравнений динамики. Минус такого подхода – необходимость рассчитывать крупные фрагменты материала, чтобы за исследумое время возмущение не успевало дойти до границ. Следовательно, требуются большие вычислительные мощности.

В 1953 году на суперкомпьютере Maniac I группа учёных, состоящая из Энрико Ферми, Станислава Улама, Джона Паста и Мэри Цингоу, численно решила задачу Коши<ref>Enrico Fermi, J. Pasta, and S. Ulam. Studies of nonlinear problems. Los Alamos Report LA-1940, 978, 1965.</ref> для системы дифференциальных уравнений, описывающую одномерный кристалл с нелинейным взаимодействием между частицами. С помощью синусоидальной волны задавалось начальное возмущение, ожидалось, что с течением времени энергия волны равномерно распределится по всем частицам. Оказалось, что сначала волна действительно теряет свою форму и энергию, но по прошествии достаточного времени почти точно возвращается к исходному состоянию. В дальнейшем это явление было названо «парадоксом Ферми-Паста-Улама-Цингоу», так как исследователям удалось доказать неспособность физики 20-го века описывать взаимодействия на наноуровне.

В данной работе рассматривается одна из нелинейных моделей кристалла, описанных Энрико Ферми. Ключевым отличием является введение тепловой энергии через задание дисперсии начальных скоростей.

== Модель одномерного кристалла ==

=== Метод исследования ===

Объектом исследования является модель одномерного теплоизолированного кристалла с заданной на нём механической волной. Начальная температура кристалла задаётся случайными скоростями частиц. Дифференциальные уравнения динамики цепочки решаются методом центральных разностей. Производится сравнение решений для бегущей и стоячей волн. Исследуется закон перехода механической энергии волны в тепловую энергию кристалла.

Для численного расчета формулируемых задач создан ряд специальных программ на языках С++, Bash и Mathematica.

=== Постановка задачи ===

Рассмотрим модель одномерного кристалла: цепочку одинаковых частиц массы $m$, соединённых одинаковыми нелинейными пружинами (квадратичная нелийность). 

Каждой частице присвоим свой целочисленный индекс. Принимая $u_k$ за перемещение $k$-й частицы, а $C_1$ и $C_2$~--- за коэффициенты при линейном и квадратичном членах в разложении силы взаимодействия $k$-й частицы с двумя ближайшими соседями, получим следующее дифференциальное уравнение:

<math>
\begin{equation}
	m\ddot u_k = C_1\left(\left(u_{k + 1} - u_{k}\right) - \left(u_{k} - u_{k - 1}\right)\right) + 
	C_2\left(\left(u_{k + 1} - u_{k}\right)^2 - \left(u_{k} - u_{k - 1}\right)^2\right),
\end{equation}
</math>
где <math>\dot f</math>~--- производная $f$ по времени

Перепишем это выражение, раскрыв скобки и введя новые обозначения для коэффициентов при линейной и нелинейной части:

\begin{equation}
	\ddot u_k = \omega_0^2\left(u_{k + 1} - 2u_{k} + u_{k - 1}\right) + \alpha_0^2\left(u_{k + 1}^2 - 2u_{k + 1}u_{k} + 2u_{k}u_{k - 1} - u_{k - 1}^2\right),
\end{equation}

\begin{equation}
	\omega_0 = \sqrt{\frac{C_1}{m}}, \quad \alpha_0 = \sqrt{\frac{C_2}{m}}.
\end{equation}

Здесь $\omega_0$ соответствует циклической частоте колебаний.

Заметим, что

\begin{equation}
	\begin{split}
		& u_{k + 1}^2 - 2u_{k + 1}u_{k} + 2u_{k}u_{k - 1} - u_{k - 1}^2 = \\
		& = u_{k + 1}^2 - 2u_{k + 1}u_{k} + 2u_{k}u_{k - 1} - u_{k - 1}^2 \pm u_{k + 1}u_{k-1}= \\
		& = \left(u_{k + 1}^2 - 2u_{k + 1}u_{k} + u_{k - 1}u_{k + 1}\right) - \left(u_{k + 1}u_{k - 1} - 2u_{k}u_{k - 1} + u_{k - 1}^2\right) = \\
		& = u_{k + 1}\left(u_{k + 1} - 2u_{k} + u_{k - 1}\right) - u_{k - 1}\left(u_{k + 1} - 2u_{k} + u_{k - 1}\right) = \\
		& = \left(u_{k + 1} - 2u_{k} + u_{k - 1}\right)\left( u_{k + 1} - u_{k - 1} \right).
	\end{split}
	\label{replace}
\end{equation}

Воспользуемся заменой~(\ref{replace}), и тогда уравнения динамики цепочки примут следующий вид:
\begin{equation}
	\ddot u_k = \left(u_{k + 1} - 2u_{k} + u_{k - 1} \right) \left( \omega_0^2 + \alpha_0^2 \left( u_{k + 1} - u_{k - 1} \right) \right).
	\label{chainEquations}
\end{equation}

Аналогичное уравнение использовалось в оригинальной работе Ферми, Паста и Улама\cite{fermi1965crystal}.

Механическую энергию системы в начальный момент времени (то есть, при $t = 0$) будем задавать с помощью синусоидальной волны. Из-за теплового движения частиц волна будет терять свою форму, а её энергия перейдёт в тепловую энергию системы. Для описания этого процесса численно решим уравнения динамики кристалла. 

Чтобы замкнуть систему из $k$ уравнений~(\ref{chainEquations}), определим граничные условия, а также по $k$ начальных условий на перемещения и скорости. Для задания начальных скоростей воспользуемся генератором случайных чисел с равномерным распределением. При этом дисперсию скоростей будем задавать в соответствии с требуемым температурным профилем.

=== Начальные и граничные условия ===

Чтобы соответствовать идеальной модели, исследуемая цепочка должна иметь бесконечную длину. Для проведения численного моделирования будем рассматривать кристалл конечной длины с заданным условием периодичности (граничные условия Борна~--- Кармана): 

\begin{equation}
	\label{boundaryConditions}
	u\!\left(x + L\right) =	u\!\left(x\right), \quad L \gg a,
\end{equation}
где  $L$~--- длина кристалла, $a$~--- равновесное расстояние между частицами.

Таким образом, условие теплоизоляции выполняется.

В рамках поставленной задачи будем рассматривать два вида движения в кристалле: движение механической волны и тепловое движение (тепловой шум). Соответственно, начальные условия для скоростей частиц также будут складываться из двух компонент. Меняя начальные условия, рассмотрим решение задачи для следующих постановок:
\begin{itemize}
	\item на кристалле задана бегущая волна;
	\item на кристалле задана стоячая волна.
\end{itemize}

==== Начальные условия для бегущей волны ====
Рассмотрим уравнение бегущей волны (пусть волна распространяется в одном направлении):
\begin{equation}
	\label{runningWaveEquation1}
	\dot u\!\left(x\right) = A \sin\!\left(k_0 x - \omega_0 t + \phi \right),
\end{equation}
где $A$~--- амплитуда колебаний, $k_0$~--- волновое число, $\phi$~--- фаза колебаний.

Величину $u\!\left(x\right)$ на момент времени $t$ получим интегрированием уравнения~(\ref{runningWaveEquation1}):

\begin{equation}
	\label{runningWaveEquation2}
	u\!\left(x\right) = \int\limits_0^t \! \dot u\!\left(x\right) \,\mathrm{d}t = \frac{1}{\omega_0} A \cos\!\left(k_0 x - \omega_0 t + \phi \right).
\end{equation}

Пусть длина волны совпадает с длиной кристалла, тогда
\begin{equation}
	k_0~\mathrel{\stackrel{\rm def}=} \frac{2 \pi}{\lambda} = \frac{2 \pi}{L},
\end{equation}
где $\lambda$~--- длина волны.

Фазу колебаний $\phi$ положим равной нулю и запишем уравнения~(\ref{runningWaveEquation1}) и~(\ref{runningWaveEquation2}) для начального момента времени ($t=0$):
\begin{equation}
	\label{initialMechanicalVelocity1}
	\dot u\!\left(x\right)|_{t=0} = A \sin\!\left(\frac{2 \pi x}{L} \right).
\end{equation}
\begin{equation}
	\label{initialMechanicalDisplacement1}
	u\!\left(x\right)|_{t=0} = \frac{1}{\omega_0} A \cos\!\left(\frac{2 \pi x}{L}\right).
\end{equation}

На рисунке~\ref{runningWaveInitialConditions} приведён эскиз начальных перемещений и скоростей частиц кристалла при заданной бегущей волне.

\begin{figure}[ht!]
		\center{\input{Data/InitialConditions/rw.tex}}
		\caption{Начальные условия для бегущей волны}
		\label{runningWaveInitialConditions}
\end{figure}

==== Начальные условия для стоячей волны ====
Начальные условия~(\ref{initialMechanicalVelocity1}) и~(\ref{initialMechanicalDisplacement1}) позволяют задать бегущую волну. Получим подобные условия также для стоячей волны. Для этого рассмотрим две волны амплитуды $\frac{A}{2}$, бегущие в противоположных направлениях с разностью фаз $\pi$:
\begin{equation}
	v_1\!\left(x\right) = \frac{A}{2} \sin\!\left(k_0 x - \omega_0 t \right), \quad v_2\!\left(x\right) = \frac{A}{2} \sin\!\left(- k_0 x - \omega_0 t + \pi \right),
\end{equation}

Результатом наложения этих двух волн будет стоячая волна, описываемая следующим уравнением:
\begin{equation}
	\label{standingWaveEquation1}
	\dot u\!\left(x\right) = v_1\!\left(x\right) + v_1\!\left(x\right) = A \cos\!\left(\omega_0 t \right)\sin\left(k_0 x \right).
\end{equation}

Аналогично, проинтегрируем уравнение~(\ref{standingWaveEquation1}) по времени $t$:
\begin{equation}
	u\!\left(x\right) = \int\limits_0^t \! \dot u\!\left(x\right) \,\mathrm{d}t = \frac{A}{\omega_0} \sin\!\left(\omega_0 t \right)\sin\left(k_0 x \right).
	\label{standingWaveEquation2}
\end{equation}

Подставляя в~(\ref{standingWaveEquation1}) и~(\ref{standingWaveEquation2}) $k_0 = \frac{2 \pi}{L}$ и $t = 0$, получим начальные условия для стоячей волны:
\begin{equation}
	\label{initialMechanicalVelocity2}
	\dot u\!\left(x\right)|_{t=0} = A \sin\!\left(\frac{2 \pi x}{L} \right).
\end{equation}
\begin{equation}
	\label{initialMechanicalDisplacement2}
	u\!\left(x\right)|_{t=0} = 0.
\end{equation}

Соответствующий график начальных перемещений и скоростей частиц цепочки приведён на рисунке~\ref{standingWaveInitialConditions}.

\begin{figure}[ht!]
		\center{\input{Data/InitialConditions/sw.tex}}
		\caption{Начальные условия для стоячей волны}
		\label{standingWaveInitialConditions}
\end{figure}

Функции скоростей в начальный момент времени для бегущей~(\ref{initialMechanicalVelocity1}) и стоячей~(\ref{initialMechanicalVelocity2}) волн совпадают, различаются только начальные перемещения. 


==== Начальные условия теплового движения ====

Введём оператор усреднения функции по её аргументу:
\begin{equation}
	\left<f\right> = \frac{1}{b - a}\int\limits_{a}^{b} \! f \! \left( x \right) \, \mathrm{d}x,
\end{equation}
где $\left[a; b\right]$~--- отрезок, на котором проводится усреднение.

Оператор нахождения среднего по координате для цепочки длины $L$ в таком случае записывается следующим образом:
\begin{equation}
	\left<f\right> = \frac{1}{L}\int\limits_{0}^{L} \! f \! \left( x \right) \, \mathrm{d}x,
\end{equation}

Чтобы получить выражение для тепловой компоненты скорости, запишем определение кинетической температуры в одномерной постановке:

\begin{equation}
	\frac{1}{2}kT\!\left(x\right) = \frac{m \left< v^{2} \right>}{2},
\end{equation}
где $k$~--- постоянная Больцмана, $T(x)$~--- профиль температуры, $v$~--- скорость.

Из этого равенства выразим $\left< v^{2} \right>$:
\begin{equation}
	\left< v^{2} \right> = \frac{kT\!\left(x\right)}{m}.
	\label{vTemp2Average}
\end{equation}

Пусть в начальный момент времени температура в кристалле распределена равномерно. Соответствующее распределение для скоростей будем задавать с помощью случайного числа $\rho$ в диапазоне $\left[-1;1\right]$. Определим среднее значение $\rho^{2}$:
\begin{equation}
		\left< \rho^{2} \right> = \frac{1}{2}\int\limits_{-1}^{1} \! \rho^{2} \, \mathrm{d}\rho = \frac{1}{2} \frac{\rho^{3}}{3} \bigg|_{-1}^{1} = \frac{1}{3}.
\end{equation}

Таким образом, $3 \left< \rho^{2} \right> = 1$. Воспользуемся этим соотношением для построения требуемого профиля $T \! \left( x \right)$:
\begin{equation}
	T \! \left( x \right) = 3 \left< \rho^{2} \right> T_0,
\end{equation}
где $T_0$~--- значение температуры при $t = 0$.

Перепишем выражение~(\ref{vTemp2Average}):
\begin{equation}
	\left< v^{2} \right> = \frac{ 3 k T_0}{m} \left< \rho^{2} \right>.
\end{equation}

Выразим $v^{2}\!\left(x\right)$ и $v\!\left(x\right)$
\begin{equation}
	v^{2}\!\left(x\right) = \frac{ 3 k T_0}{m} \rho^{2}\!\left(x\right).
\end{equation}

\begin{equation}
	v\!\left(x\right) = \sqrt{\frac{3 k T_0}{m}} \rho\!\left(x\right).
	\label{vTemp}
\end{equation}

Введём величину дисперсии скоростей $\sigma_{v}^{2}$ так, чтобы при $\sigma_{v}^{2} = 1$ в начальный момент времени механическая энергия волны равнялась тепловой энергии цепочки:
\begin{equation}
	T_0 = \frac{m}{k} A^{2} \sigma_{v}^{2}
	\label{initialTemp}
\end{equation}

Тогда значение $\sigma_{v}^{2} = 10$ можно трактовать следующим образом: при $t~=~0$ энергия теплового шума в кристалле в $10$ раз превосходит механическую энергию волны.

Перепишем~(\ref{vTemp}) с учётом соотношения~(\ref{initialTemp}):

\begin{equation}
	v\!\left(x\right)|_{t = 0} = A \sqrt{3 \sigma_{v}^{2}} \rho \! \left( x \right).
	\label{initialThermalVelocity}
\end{equation}

Таким образом, были получены выражения для обеих компонент скорости: скорость механической волны задаётся функцией~(\ref{initialMechanicalVelocity1}), тепловой шум определяется функцией (\ref{initialThermalVelocity}). Итоговое условие на начальные скорости в присталле принимает следующий вид:
\begin{equation}
	\left. \dot u(x) \right |_{t = 0} = A \left( \sin\!\left( \frac{2 \pi x}{L} \right) + \sqrt{3 \sigma_{v}^{2}} \rho \! \left( x \right) \right).
\end{equation}

Начальные перемещения при рассмотрении бегущей волны задаются формулой~(\ref{initialMechanicalDisplacement1}), при рассмотрении стоячей~--- формулой~(\ref{initialMechanicalDisplacement2})


=== Вычисление механической энергии ===
В начальный момент скорость имеет распределение, близкое к синусоидальному. С течением времени цепочка теряет эту форму (в силу нелийненого взаимодействия между частицами), а механическая энергия переходит в тепловую. 

Механическая энергия системы $E\!\left(x\right)$ складывается из кинетической энергии $K\!\left(x\right)$ и потенциальной энергии $\Pi\!\left(x\right)$ следующий образом:
\begin{equation}
	K\!\left( x \right) = \frac{m}{2}\dot u^2\!\left(x\right),
	\quad \Pi \!\left( x \right) = \frac{C_1}{2}\varepsilon^2\!\left(x\right),
	\quad E\!\left(x\right) = K\!\left(x\right) + \Pi\!\left(x\right),
	\label{energyEquations}
\end{equation}
где $\varepsilon\!\left(x\right)$~--- возникающие деформации.

Так как нас интересует энергия не всей системы (включающей тепловой шум), а только заданной механической волны, будем искать энергию первой синусоидальной моды. Перепишем выражения для энергий: 
\begin{equation}
	K\!\left( x \right) = \frac{m}{2}\left(\int\limits_L \! \dot u\!\left(x\right) \sin\!\left( \frac{2 \pi x}{L} \right) \,\mathrm{d}x\right)^2
\end{equation}
\begin{equation}
	\Pi \!\left( x \right) = \frac{C_1}{2}\left(\int\limits_L \! \varepsilon\!\left(x\right) \cos\!\left( \frac{2 \pi x}{L} \right) \,\mathrm{d}x\right)^2
\end{equation}
\begin{equation}
	E\!\left(x\right) = \frac{m}{2}\left(\int\limits_L \! \dot u\!\left(x\right) \sin\!\left( \frac{2 \pi x}{L} \right) \,\mathrm{d}x\right)^2
	+ \frac{C_1}{2}\left(\int\limits_L \! \varepsilon\!\left(x\right) \cos\!\left( \frac{2 \pi x}{L} \right) \,\mathrm{d}x\right)^2
\end{equation}

Первая синусоидальная мода также возникает и в тепловом шуме. Математическое ожидание от её энергии вычислим, усреднив по ансамблю реализаций систему без заданной волны.

Определим значения $K\!\left(x\right)$ и $\Pi\!\left(x\right)$ при $t = 0$:

\begin{equation}
	K\!\left( x \right)|_{t=0} = \frac{m}{2}\left(A \int\limits_L \! \sin^2\!\left( \frac{2 \pi x}{L} \right) \,\mathrm{d}x\right)^2,
\end{equation}

\begin{equation}
	\label{initialPotentialEnergy}
	\Pi\!\left( x \right)|_{t=0} = \frac{C_1}{2}\left( \int\limits_L \! \varepsilon\!\left(x\right)|_{t = 0} \cos\!\left( \frac{2 \pi x}{L} \right) \,\mathrm{d}x\right)^2 
\end{equation}

Интеграл в формуле (\ref{initialPotentialEnergy}) равен нулю в случае стоячей волны (в начальный момент времени нет деформаций). Покажем, что этот интеграл также будет равен нулю в случае бегущей волны:

\begin{equation}
	\begin{split}
		& \int\limits_L \! \varepsilon\!\left(x\right)|_{t = 0} \cos\!\left( \frac{2 \pi x}{L} \right) \,\mathrm{d}x = 
		A \int\limits_L \! \sin\!\left(\frac{2 \pi x}{L}\right) \cos\!\left( \frac{2 \pi x}{L} \right) \,\mathrm{d}x = \\
		& = \frac{A}{2} \int\limits_L \! \sin\!\left(\frac{4 \pi x}{L}\right) \,\mathrm{d}x = 0.
	\end{split}
\end{equation}


То есть, в начальный момент времени потенциальная энергия равна нулю, а механическая энергия задаваемой волны равна
\begin{equation}
	\label{initialMechanicalEnergy}
	E\!\left( x \right)|_{t=0} = \frac{m}{2}\left(A \int\limits_L \! \sin^2\!\left( \frac{2 \pi x}{L} \right) \,\mathrm{d}x\right)^2 = \frac{m A^{2} L^{2}}{8}
\end{equation}

Значение (\ref{initialMechanicalEnergy}) выберем в качестве масштаба энергии.

Чтобы определить закон, по которому происходит переход механической энергии в тепловую, введём безразмерный параметр $E^*\!\left( x \right) = \frac{E\!\left( x \right)}{E\!\left( x \right)|_{t=0}}$~--- нормированное значение механической энергии цепочки:
\begin{equation}
	E^* = \left( \frac{\int\limits_L \! \dot u\!\left(x\right) \sin\!\left( \frac{2 \pi x}{L} \right) \,\mathrm{d}x}{A \int\limits_L \! \sin^2 \left( \frac{2 \pi x}{L} \right)  \,\mathrm{d}x} \right)^2 + 
	\omega_0^2 \left( \frac{\int\limits_L \! \varepsilon\!\left(x\right) \cos\!\left( \frac{2 \pi x}{L} \right) \,\mathrm{d}x}{A \int\limits_L \! \sin^2 \left( \frac{2 \pi x}{L} \right)  \,\mathrm{d}x} \right)^2.
\end{equation}

Решение задачи свелось к нахождению $E^*\!\left( x \right)$.

=== Численное решение дифференциального уравнения ===

Для решения системы уравнений движения~(\ref{chainEquations}) воспользуемся методом центральных разностей. Перепишем граничные условия~(\ref{boundaryConditions}):
<math>
\begin{equation}
	u_{k + N} = u_{k}, \quad \dot u_{k + N} = \dot u_{k},
\end{equation}
</math>
где <math>N \gg 1</math>~--- число независимых частиц.

Вычисление правой части~(\ref{chainEquations}) аналогично решению с помощью разностной схемы. Рассчитанные таким образом ускорения частиц пересчитываем в скорости:
<math>
\begin{equation}
	\dot u_k\!\left(t + \Delta t\right) = \dot u_k\!\left(t\right) + \ddot u_k\!\left(t\right)\Delta t.
\end{equation}
</math>

Затем скорости пересчитываем в смещения частиц. Важно отметить, что по данному методу расчёт скоростей производится на промежуточных шагах по времени относительно расчёта смещений. 
<math>
\begin{equation}
	u_k\!\left(t + \Delta t\right) = u_k\!\left(t\right) + \dot u_k\!\left(t\right)\Delta t.
\end{equation}
</math>

Значение <math>\varepsilon\!\left(x\right)</math> вычисляем следующим образом:
<math>
\begin{equation}
	\varepsilon = \sum_{i = 1}^{N - 1} \left(u_{i} - u_{i - 1}\right).
\end{equation}
</math>

=== Параметры расчёта ===

Для достоверного численного решения дифференциального уравнения относительно <math>\left(u\!\left(x\right), \dot u\!\left(x\right)\right)</math> длина цепочки должна стремиться к бесконечной, чтобы соответствовать модели идеального кристалла. При проведении численных экспериментов удовлетворительная точность расчётов достигалась на цепочках из 10 миллионов частиц и более.

Статистические характеристики системы также можно вычислить путём усреднения бесконечного множества реализаций (каждая реализация~--- задача Коши для цепочки). Благодаря этому подходу, предложенному в работах \cite{art1}, \cite{art2}, достигается эффективность проводимых численных экспериментов. 

Результаты, приводимые далее, получены усреднением <math>5 \cdot 10^4</math> реализаций цепочки c <math>N = 10^3</math> (за исключением <math>\rho</math> все параметры в рамках серии сохранялись). Такая конфигурация будет аналогична модели кристалла с 50 миллионами частиц, но допускает параллельный компьютерный расчёт реализаций. Проведение параллельного моделирования коротких цепочек на суперкомпьютерных системах привело к сушественному сокращению общего времени вычислений.

По мере повышения величины дисперсии <math>\sigma_v^2</math> шаг по времени <math>\Delta t</math> следует уменьшать. Иначе влияние нелинейной компоненты силы приводит к разрушению системы, эта неустойчивость связана с нарушением условия Куранта. Однако, уменьшение <math>\Delta t</math> увеличивает время, требуемое для проведения численного моделирования. Так как численно <math>\sigma_v^2</math> соответствует отношению тепловой энергии в кристалле к энергии механической волны, её значение в реальных системах на несколько порядков превышает исследуемое в рамках данной работы.

В качестве масштаба времени возьмём период колебаний материальной точки массы <math>m</math> на пружине жёсткости <math>C_1</math>:
<math>
\begin{equation}
	\quad T_0~\mathrel{\stackrel{\rm def}=} \frac{2 \pi}{\omega_0} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{C_1}}.
\end{equation}

</math>

\begin{center}
	\captionof{table}{Параметры при моделировании стоячей волны}
	\begin{tabular}{l | l | l | l}
		$\sigma_v^2$ & $\Delta \sigma_v^2$ &  $\Delta t$ & Постоянные параметры\\ \hline
		$[0; 60]$ & $1$ & $0.05~T_0$ & \multirow{4}{*}{$\omega_0 = 1, \quad \alpha_0 = 1, \quad A = 0.01$} \\
		$[15; 60]$ & $5$ & $0.05~T_0$ & \\
		$[65; 75]$ & $5$ & $0.005~T_0$ & \\
		$[80; 100]$ & $5$ & $0.0005~T_0$ &
	\end{tabular}
	\label{standingWaveParameters}
\end{center}

\begin{center}
	\captionof{table}{Параметры при моделировании бегущей волны}
	\begin{tabular}{l | l | l | l}
		$\sigma_v^2$ & $\Delta \sigma_v^2$ & $\Delta t$ & Постоянные параметры\\ \hline
		$[0; 10]$ & $1$ & $0.05~T_0$ & \multirow{3}{*}{$\omega_0 = 1, \quad \alpha_0 = 1, \quad A = 0.01$} \\
		$[15; 200]$ & $5$ & $0.05~T_0$ & \\
		$[200; 300]$ & $5$ & $0.005~T_0$ &
	\end{tabular}
	\label{runningWaveParameters}
\end{center}

Значения параметров проводимых экспериментов приведены в таблицах~\ref{standingWaveParameters} и~\ref{runningWaveParameters}. Моделируемое время ограничено: <math>0 \leq t \leq 7 \cdot 10^4~T_0</math>.

== Заключение ==

В работе проведено исследование перехода механической энергии в тепловую в одномерном кристалле. В качестве модели кристалла рассмотрена цепочка частиц одинаковой массы. Взаимодействие между частицами нелинейное: выражения для сил содержат квадратичную зависимость от расстояния между частицами.

Начальная механическая энергия системы задана с помощью синусоидальной волны. Рассмотрены две постановки: стоячая волна и бегущая волна, распространяющаяся в одном направлении. Начальные скорости частиц определены таким образом, чтобы удовлетворить равномерному температурному профилю в начальный момент времени.

В качестве меры механической энергии системы <math>E^*</math> взято отношение энергии волны к её начальному значению. Для проведения исследования введён безразмерный параметр <math>\sigma_v^2</math>, характеризующий величину дисперсии флуктуаций скоростей в цепочке и равный отношению тепловой энергии к механической в начале расчёта.

Заданная механическая энергия с течением времени переходит в тепловую. Продемонстрирована необратимость этого процесса, а также зависимость скорости перехода от <math>\sigma_v^2</math>: при увеличении дисперсии механическая энергия убывает быстрее. Функция убывания описана с помощью модифицированного экспоненциального закона: <math>E^* = e^{-\alpha \tau ^{\beta}}</math>, где <math>\tau</math> – безразмерное время процесса, <math>\beta</math> и <math>\alpha</math>– функции от <math>\sigma_v^2</math>.

Зависимость <math>\alpha \! \left( \sigma_v^2 \right)</math> и <math>\beta \! \left( \sigma_v^2 \right)</math> получены экспериментально для серии <math>\sigma_v^2</math>. Предложены аппроксимации этих функций для стойчей и бегущей волн. 

<math>
	\beta \! \left(\sigma_{v}^{2} \right) = 1 + \frac{1.08}{\sqrt{\sigma_{v}}},
	\quad \alpha \! \left(\sigma_{v}^{2} \right) = 0.14 \exp\!\left(- \frac{50}{5 + \sigma_{v}}\right),
</math>

<math>
	\beta \! \left(\sigma_{v}^{2} \right) = 1 + \frac{1.55}{\sqrt{\sigma_{v}}},
	\quad \alpha \! \left(\sigma_{v}^{2} \right) = 0.14 \exp\!\left(- \frac{97.5}{9.5 + \sigma_{v}}\right),
</math>

где <math>\sigma_{v}</math> – среднеквадратическое отклонение скоростей частиц кристалла.

Показано, что энергия стоячей волны убывает в 4 раза быстрее энергии бегущей волны при одних параметрах эксперимента. Продемонстрированы предельные значения <math>\beta</math>:
* <math>\beta = 2</math> при <math>\sigma_v^2 = 0</math>;
* <math>\beta \rightarrow 1</math> при <math>\sigma_v^2 \rightarrow \infty</math>.

Показано влияние скорости убывания <math>E^*</math> на развал бегущей волны и, как следствие, образование дополнительного колебательного процесса. При больших значениях <math>\sigma_v^2</math> волна сохраняет свою первоначальную форму, развал не происходит из-за слишком быстрого перехода механической энергии волны в тепловую.

Результаты работы были получены с использованием вычислительных ресурсов суперкомпьютерного центра Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого. Каждый расчёт производился на отдельном ядре CPU с использованием технологии MPI, одновременно задействовалось <math>1000</math> ядер. Таким образом, для получения <math>5 \cdot 10^4</math> реализаций вычисления повторялись <math>50</math> раз, в среднем общее время моделирования для одного значения <math>\sigma^{2}_{v}</math> составило <math>20</math> минут при шаге <math>\Delta t = 0.05 T_0</math>, <math>6</math> часов при <math>\Delta t = 0.005 T_0</math> и <math>12</math> часов при <math>\Delta t = 0.0005 T_0</math> (<math>T_0</math> – заданный масштаб времени).

Автор благодарен Д. В. Цветкову за полезные обсуждения. 

== Список литературы ==
<references>