Редактирование: Определение эффективных упругих характеристик в материале с трещинами

'''МАГИСТЕРСКАЯ РАБОТА'''<br>
''Автор работы'': [[Лапин Руслан| Р. Л. Лапин]]<br>
''Руководитель'': [[Кузькин В.А. | доцент кафедры ТМ В. А. Кузькин]]<br>

==Введение==

Задачи связанные с учетом трещин в материале исследуются в различных научных областях:
*Механика твердого тела
*Геология 
*Механика материалов
*Нефтедобыча и газодобыча
Включения (трещины, поры) могут значительно влиять на эффективные модули материала – уменьшать компоненты тензора жесткости в несколько раз.
Определение эффективных характеристик является важной задачей. Первым приближением является приближение невзаимодействия - каждая трещина считается изолированной, и не чувствует влияния соседних трещин. Результаты полученные с помощью данного метода могут значительно отличаться от полученных другими методами. Однако, в приближении невзаимодействия доказано - материал с трещинами при любой конфигурации трещин является ортотропным. Важным вопросом является вопрос - будет ли он ортотропным при учете взаимодействия.


==Постановка задачи==

Исследуется материал со случайно расположенными трещинами в плоско-деформированной постановке. Характеристикой трещин является плотность
<math>\rho &= \frac{Nl^2}{4A}</math>, где <math>N</math> - число трещин, <math>l</math> - длина трещины, <math>A</math> - площадь рассматриваемой области.  
 Цель данной работы:
*Реализовать метода разрывных смещений на языке С++ для решения задач напряженно-деформированного состояния материала с различными конфигурациями при различных нагрузках.
*Провести серию расчетов для различных постановок, с целью определения отклонения тензора податливости от ортотропного
**Семейство параллельных трещин
**Два семейства параллельных трещин при различных наклонах
**Три семейства параллельных трещин
*Определить углы ортотропии для постановок в которых отсутствует геометрическая ортотропия
*Проанализировать полученные результаты.
Для каждой постановки рассматривается диапазон плотностей <math>\rho &= [0.01;0.8]</math>. Для каждой плотности проводится операция усреднения - проводится 450-650 расчетов с различными конфигурациями.

==Создание начальных конфигураций==
[[Файл:Config example.PNG|200px|thumb|right|Пример конфигурации трещин]]
[[Файл:Bad_config.bmp|200px|thumb|right|Пример плохой конфигурации трещин с раскрытием трещин]]
[[Файл:Good_conf.bmp.jpg‎|200px|thumb|right|Пример хорошей конфигурации]]
В ходе работы над задачей возникла проблема созданяи начальных конфигураций. При близком расположении трещин численный метод (метод разрывных смещений) неустойчив. В виду этого было определено минимальное расстояние достаточное для устойчивости - 0,1 длины трещины. Использование данного ограничения значительно улучшает результаты. 

===Оценка ортотропности===

Вычисленный тензор податливости может отличаться от ортотропности, для оценки используется оценка 
<math>\delta &= \sqrt{\frac{(S_{ijkl}-S_{ijkl}^{ort})(S_{ijkl}-S_{ijkl}^{ort})}{S_{prqs}S_{prqs}}}</math>

<math> p \ = 1 - 6\frac{\sum{d}}{n^3-n}, p \in [-1; 1]</math>
 
Где <math>d</math> - разность рангов величин взятых по одному из наборов данных для которых применяется анализ. 

Значения коэффициента Спирмена близкое по модулю к <math>1</math> говорит о том, что две величины зависят друг от друга. Значение близкое к <math>0</math> говорит о независимости величин.

По результатам анализа был проведен отбор датчиков, которые можно считать хорошо работающими.

===Регрессионный анализ===

Для датчиков, которые удовлетворили корреляционному анализу была найдена модель зависимости показаний от УВБ. Метод решения этйо задачи регрессионный анализ. 

Его идея в том, что для набора величин  <math>(X; Y)</math> составляется предположительный вид зависимости, в данной работе полиномиальный <math>\bar{y} = a_0x^n+a_1x^{n-1}+...a_{n-1}x+a_n</math>. Затем, для нахождения неизвестных коэффициентов <math>a_i</math> используется метод наименьших квадратов. Строится функционал невязки <math> I= \sum{(\bar{y}(x_i)-y_i})</math>. От которого беруться производные от <math>a_i</math> и приравниваются к <math>0</math>. В итоге получается линейная <math>n</math>-мерная система относительно <math>n</math> неизвестных, из которой находятся коэффициенты <math>a_i</math>.

В данной работе использовался линейный и квадратичный вид зависимости.

==Модель материала==

Модель материала, имеющего в структуре трещины, основана на модели пороупругого материала. Опишем систему уравнений, задающих модель.

Одним из уравнений является уравнение равновесия: <math>\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma} = 0</math>

Тензор напряжений расписывается согласно принципу эффективных напряжений:

<math>\boldsymbol{\sigma} = (1-m)\boldsymbol{\sigma^*}+m(sp_ж+(1-s)p_г)\boldsymbol{E}</math>

Где <math>\boldsymbol{\sigma^*}</math> - напряжения в скелете материла, которые подчиняются линейной теории упругости; <math>m</math> - пористость материала; <math>s</math> - сатурация материала. 

На первоначальном этапе считается, что материал обладает стопроцентной сатурацией, то есть <math>s = 1</math>. Тогда тензор напряжений принимает вид:

<math>\boldsymbol{\sigma} = (1-m)\boldsymbol{\sigma^*}+mp_ж\boldsymbol{E}</math>

Для описания движения жидкости в материале используется закон Дарси:

<math>\bar{w} = -k_*grad(p_ж)</math>

Где<math>k_*</math> коэффициент проводимости материала. 
 
Последним уравнением, замыкающим систему является уравнение неразрывности:

<math> div(\rho\bar{w})=0</math>

Эти уравнения образуют систему относительно <math>\boldsymbol{\sigma^*}, p_ж</math>.

==Результаты моделирования==

[[Файл:Napryageniya.jpg‎|200px|thumb|right|Напряжения при третьей постановке]]
[[Файл:Porovoe.jpg|200px|thumb|right|Пьезометрическое давление при третьей постановке]]
[[Файл:Diff postanovki.jpg|200px|thumb|right|Эпюры поровых давлений для разных постановок с глубине 1 метр]]
В ходе моделирования решалась статическая задача, так же заметим что модель двумерная. 
Моделирование происходило в трех различных постановках
*Без учета УНБ
*С учетом УНБ
*С учетом УНБ и противофильтрационной завесы

Наличие нескольких постановок связано с тем, что в начале исследования не было понятно какие параметры влияют на результат.

В результате моделирования полученным поля  напряжений, перемещений и пьезометрического давления для всех трех постановок.


Наиболее интересной зоной при моделировании был зона на расстоянии 1 метр от уровня земли. Эта зоня ялвляется зоной наиболее большого количества датчиков, а так же потому что она является стыком двух типов материалов - бетона и грунта.

В результате работы исследовано распределение порового давление на этой глубине вдоль оси параллельной земле.
Наблюдается уменьшение давление с движением от УВБ. Так же нужно заметить, что противофильтрационная завеса создает резкое понижение порового давления. Отметим, что в удалении от стенки графики практически совпадают.


==Сравнение результатов модели с результатами эксперимента==
===Анализ датчиков, расположенных на одинаковом расстоянии от центра кривизны плотины===
[[Файл:ModelExper.jpg|200px|thumb|right|Сравнение модели и эксперемента]]
Для сравнения результатов моделирования и натурных данных использовались показания датчиков для 33 секции плотины Саяно-Шушенской ГЭС.
При сравнении показаний и результатов моделирования в третьей постановке выяснилось, что модель количественно и качественно совпадает с натурными данными.

==Выводы==

В ходе работы были решены сразу несколько задач:

1)	Обработаны экспериментальные данные датчиков в плотине. Реализована схема отсеивания датчиков показывающие неразумные значения. А на показаниях хорошо работающих датчиков построены модели зависимостей порового давления от уровня УВБ.

2)	Реализована модель пороупругого материала для бетона в вычислительном пакете SIMULIA ABAQUS. Получены результаты для различных постановок задачи. Проведено сравнение результатов от постановки задачи. Исследована зависимость порового давления от УВБ.

3)	Исследовано влияние угловой координаты на показания датчиков. Определено, что на показания влияет лишь высота расположения датчика и расстояние до центра кривизны плотины.

4)	Проведено сравнение исследуемой модели и экспериментальных данных для 33 секции плотины.

По результатам данной работы можно сделать несколько выводов. 

Во-первых, для сравнения результатов моделирования и реального материала в исследуемой плотине находится недостаточное количество датчиков. Так же возникает проблема, что находящиеся в плотине датчики расположены группами, но не по всему телу плотины, а лишь в определённых областях. Отсюда возникает затруднения при анализе эксперимента и сравнении его с результатами моделирования, так что делать каких-то уверенных выводов нельзя. Для полной уверенности нужно либо больше датчиков, либо сравнение моделирования и эксперимента нужно проводить по показаниям других групп датчиков, например, расходометрам, наклономеров, деформометров. Кроме того, можно пользоваться лабораторным экспериментом, выполненным с керном, изъятым из тела плотины, и моделированием этого лабораторного эксперимента. Это одно из направлений дальнейшего исследования.

Во-вторых, данная модель согласуется с экспериментом. Особенно хорошо, она описывает область вблизи противофильтрационной завесы плотины. Здесь наблюдается количественное и качественное совпадение. Но имеются расхождения в отдалении от нее. 
Одним из вариантов доработки модели является более точное описание материала бетона. Например, замена постоянной пористости, на некую функции зависящую от различных параметров: координаты, напряжения, температуры и так далее. 
Еще одним из направлений развития является оценка напряженно – деформированного состояния сооружений под действием землетрясения с учетом рассмотренных факторов, в том числе влияния поровой жидкости. Особый интерес данной проблемой, вызван появлением во время землетрясения новых трещин в сооружении и фильтрации жидкости в них изменения свойств и параметров сооружений.   
Реализация этих направлений является дальнейшим планом развития работы.

==Материалы работы==
*'''[[Медиа:NIR_bakalavrskayLapinR.pdf|Презентация работы(pdf)]]'''
*'''[[Медиа:Lapin-preview.pdf|Превью(pdf)]]'''
*'''[[Медиа:PosterPoBakalavrskoiLapinR.pdf|Плакат(pdf)]]'''

==Литература==

*К.С. Басниев, А.М. Власов, И.Н. Кочина, В.М. Максимов. Подземная гидравлика. Учебник для ВУЗов – 1986г. 306 с.
*	 J.F. Shao, Y. Jia, D. Kondo,  A.S. Chiarelli. A coupled elastoplastic damage model for semi-brittle materials and extension to unsaturated conditions – 2004г.
*М.Н.Ваучский, Ю.В.Добрица, А.П.Смирнов О.И.Канинский К вопросу о фильтрационных характеристиках бетона – 1998г.
*Н.А. Вульфович, Л.А. Гордон, Н.И. Стефаненко. Арочно-гравитационная плотина Саяно – Шушенской ГЭС. Оценка технического состояния по данным натурных наблюдений – 2012г.
*Е.Л. Косарев. Методы обработки экспериментальных данных – М.: ФИЗМАЛИТ – 2008, 208 с.
*Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Теория вероятностей и прикладная статистика – М.: ЮНИТИ-ЛАНА – 2001г. 656 с.
*Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ: В 2-х кн. Кн. 1 / Пер. с англ. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 1986г.– 366 с.
*M. A. Blot General Theory of Three-Dimensional Consolidation – 1940 г.
*Alan W. Bishop. The principle of the effective stress – 1960г. 
*Clayton, C.R.I., Steinhagen, Muller, Steinhagin, H.M., Powrie, W., Terzaghi, K. and Skempton, A.W. Terzaghi's theory of consolidation and the discovery of effective stress. (Compiled from the work of K. Trzaghi and A.W. Skempton). Proceedings of the ICE - Geotechnical Engineering, 113, (4) – 1995г., 191-205.
*Simulia Abaqus Theory Manual 6.11 – 2011г. 
*Г. Стренг, Дж. Фикс - Теория метода конечных элементов – 1973 г.