Редактирование: Исследование колебаний математического маятника переменной длины

== Цель ==

Целью нашей работы является исследование колебания маятника, длина которого меняется по гармоническому закону.

==Задачи==

* Построить графики колебаний, используя численные методы;
* Построить фазовые портеры;
* Исследовать влияние параметров в уравнении колебаний на вид колебаний и фазовых портретов;
* Сравнить решение исходного и линеаризованного уравнения. 
* Визуализировать модель маятника при помощи языка программирования JavaScript

== Вывод формул ==

Выясним, каким будет уравнение колебаний нашего маятника.
Для этого найдем кинетическую и потенциальную энергию маятника:
[[File:kineticheskaya.PNG]]  [[File:potencialnaya.PNG]]<br />
и запишем уравнение Лагранжа второго рода:<br />
[[File:lagrang2.PNG]], где<br />
[[File:dlina.PNG]]<br />

Для исследования поведения нашего маятника рассмотрим несколько случаев. Для начала рассмотрим случай пренебрежения изменения длины маятника, учитывая, что начальный угол отклонения много меньше 1 радиана.<br />
Разложим синус в ряд Тейлора:[[File:sinus.PNG]]<br />
Ограничиваясь первым членом в разложении, получим: [[File:nedomat'e.PNG]]<br />
Учитывая малость параметра b, заменим выражение эквивалентным:[[File:ekvivalent.PNG]]<br />
Cведем наше уравнение к уравнению Матье: [[File:mat'e2.PNG]],где<br />
[[File:koefficienti.PNG]]<br />
Зоны устойчивости и неустойчивости уравнения Матье представлены на диаграмме Айнса-Стретта:<br />
[[File:strett.jpg]]<br />
Усложним задачу и учтём изменение длины маятника. Рассмотрим три варианта:<br />
В первом приближении:<br />
[[File:pervoepribligenie.PNG]]<br />
С учётом третьего порядка приближения в разложении синуса :<br />
[[File:vtoroepribligenie.PNG]]<br />
И исходное уравнение:<br />
[[File:isxodnoe.PNG]]<br />
При исследовании поведения системы в зависимости от параметров b и p, мы попытались построить свою диаграмму устойчивости и неустойчивости системы. при фиксированном значении параметра b и переменном значении параметра р мы считали декремент затухания и на основе этих данных построили следующий график:<br />
[[File:dekrement.PNG]]

== Визуализация ==

{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/Belousova/Fluctuations/graphic.html |width=830 |height=600 |border=0 }}

==Выводы==
В ходе исследований колебаний математического маятника переменной длины мы рассмотрели графики колебаний и фазовые портреты. Выяснили, что при фиксировании параметра b с увеличением частоты колебания затухают быстрее, аналогичная зависимость наблюдается при фиксировании частоты и увеличении параметра b. Однако есть области раскачки колебаний.
Пренебрегая изменением длины, колебания схожи с классическим маятником для устойчивого случая. Но учитывая изменение длины и беря больше членов в разложении синуса, график заметно изменяется.

==Список литературы==
 
==Курсовой проект==
[[:File:fluctuations.rar | Скачать]]

== Участники проекта ==
* [http://tm.spbstu.ru/%D0%91%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D1%83%D1%81%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%95%D0%BA%D0%B0%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BD%D0%B0 Белоусова Екатерина]

* [http://tm.spbstu.ru/%D0%90%D0%BD%D0%B4%D1%80%D0%B5%D0%B5%D0%B2%D0%B0_%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0 Андреева Полина]

== См. также ==
[[Кафедра "Теоретическая механика"]]