Редактирование: Эффективное решение задачи гидроразрыва с использованием модифицированной постановки на примере модели ХГД

'''МАГИСТЕРСКАЯ РАБОТА'''<br>
''Автор работы'': [[Степанов Алексей | А.Д. Степанов]]<br>
''Научный руководитель'': д. ф-м. н. профессор, А. М. Линьков<br>
==Введение и мотивация работы==
Гидроразрыв пласта (ГРП) --- метод, широко применяющийся в газо- и нефтедобывающей промышленности для интенсификации добычи углеводородов из скважин.

Методика гидроразрыва заключается в следующем: сначала в скважине путем перфорирования создается ""зародыш"" трещины --- перфорация, после этого в скважину закачивается вязкая жидкость, что вызывает рост давления, который приводит к развитию трещины. Затем, когда трещина достаточно раскрывается, в нее закачивают специальный материал --- проппант, предотвращающий закрытие трещины.

Одна из особенностей проведения ГРП состоит в трудности контроля за происходящими на большой глубине процессами. Проведение экспериментов для исследования ГРП так же затруднено в силу сложности интерпретации получаемых данных. Поэтому для лучшего понимания и контроля ГРП необходимы и широко применяются численные модели.

В ряде работ были показаны трудности, возникающие при решении задачи о гидроразрыве в ее  традиционной формулировке, связанные с сильной нелинейностью входящих в нее операторов, с необходимостью использовать нелокальный гиперсингулярный оператор для описания упруго отклика породы, сингулярностью давления у вершины трещины, возникающей при пренебрежении отставанием фронта жидкости от кончика трещины, и наличием подвижной границы. Эти трудности оказывают существенное влияние на скорость и качество работы симуляторов.

Для эффективного решения задачи о гидроразрыве была разработана модифицированная постановка, заключающаяся в выборе удобных переменных (скорость частиц жидкости и раскрытие трещины), использовании уравнения скорости вместо уравнения глобального баланса массы и применении универсального асимптотического зонтика. 

Не преодолевая до конца упомянутые трудности, связанные с нелинейностью задачи, сингулярностью давления у вершины трещины и необходимостью использовать гиперсингулярный оператор, модифицированная постановка дает возможность использовать эффективные численные методы отслеживания фронта.

На данный момент преимущества модифицированной постановки были показаны на 1D задачах. Получены новые аналитические и точные численные решения.
В этих работах применялись упрощения, доступные только в 1D случае:
*нормировка координаты на длину трещины;
*вместо гиперсингулярного оператора, использовался обратный ему (слабо сингулярный оператор).
Для применения модифицированной постановки к 3D задаче полезно заново решить 1D задачи, не используя доступных в частном случае упрощений.

==Цели исследования==
Численное решение задачи ХГД с использованием модифицированной постановки с учетом того, что
*решение находится в глобальных координатах;
*для описания упругого поведения породы используется гиперсингулярный интеграл.
Исследование возможности ускорения вычислений.

==Модифицированная постановка задачи ХГД==
[[Файл:KGDView_v2.jpg‎|300px|thumb|right|]]
Решается задача ХГД, геометрия которой приведена на рисунке. Для практически важного случая следует рассматривать жидкость со степенным реологическим законом:

<math>\tau =M\dot{\gamma}^{n}</math>

где <math> \tau </math>  - сдвиговые напряжения, <math> \dot{\gamma} </math> - скорость сдвига, <math> M </math> - индекс консистенции, <math> n </math> - индекс поведения жидкости. Для ньютоновской жидкости <math> n = 1 </math>; для идеально пластической <math> n= 0</math>. На практике обычно используют утончающуюся жидкость  </math> 0 < n < 1 </math>.

В согласии с модифицированной постановкой уравнения неразрывности и Пуазейля записываются, соответственно, в виде:
<math>\frac{\partial w}{\partial t}=-\frac{\partial \left( wv\right) }{\partial x}
-q_{l},</math>
<math>v=\left[ \frac{w^{n+1}}{\mu ^{\prime }}\left( -\frac{\partial p}{\partial x}%
\right) \right] ^{1/n},  \label{eq::poiseuille_eq}
</math>
где $ w $ --- раскрытие трещины, $ p $ --- давление в трещине, $ q_l $ --- утечки жидкости в пласт, $\mu ^{\prime }=\theta M$, $\theta =2\left[ \frac{2(2n+1)}{n}\right] ^{1/n}$.