Просмотр исходного текста страницы Распространение тепла в гармоническом одномерном кристалле

[[en:Heat transfer in a 1D harmonic crystal]]
[[ТМ|Кафедра ТМ]] > [[Проект "Термокристалл"]] > [[Распространение тепла в гармоническом одномерном кристалле]] <HR>
[[Виртуальная лаборатория]] > [[Распространение тепла в гармоническом одномерном кристалле]] <HR>
[[А.М. Кривцов]] (аналитическое решение, алгоритмы моделирования), [[Д.В. Цветков]] (программирование, расчетные алгоритмы). <HR>
<!--'''''Если отображается старая версия программы, обновите с помощью Ctrl + F5'''''-->
__NOEDITSECTION__
__NOTOC__

Распространение тепла в простейших дискретных системах не подчиняется законам, известным для обычных макроскопических тел. Недавние экспериментальные работы показали, что аналогичные эффекты наблюдаются на наноуровне, в молекулярных и атомарных системах. Компьютерная программа, представленная ниже, демонстрирует распространение тепла в  одномерном гармоническом кристалле. Показаны два графика: результаты молекулярно-динамического моделирования и континуального описания. Программа также позволяет осуществить сравнение с другими теориями распространения возмущений в континуальных средах. Анализ системы и получение для нее континуального описания представлены в работе: ArXiv:1509.02506 ([http://arxiv.org/abs/1509.02506 abstract], [http://arxiv.org/pdf/1509.02506v2.pdf pdf]). 

{{oncolor|yellow|black|Для просмотра процесса с начала нажмите кнопку '''Рестарт'''.}}

{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/Tcvetkov/Equations/Equation%20v8b-10%20debug%20random/Equations_rus.html |width=1030 |height=745 |border=0 }}

== Дискретная модель (микроуровень) ==

Рассматривается одномерный кристалл, описываемый следующими уравнениями движения:
:<math>
     \ddot{u}_i = \omega_0^2(u_{i-1}-2u_i+u_{i+1})
     ,\qquad \omega_0 = \sqrt{C/m},
</math>
где
<math>u_i</math> — перемещение частицы,
<math>i</math> — номер частицы,
<math>m</math> — масса частицы,
<math>C</math> — жесткость связи между частицами.
Кристалл считается бесконечным: индекс <math>i</math> принимает произвольные целые значения.
Начальные условия:
:<math>
     u_i|_{t=0} = 0
     ,\qquad
     \dot u_i|_{t=0} = \sigma(x)\varrho_i
     ,
</math>
где <math>\varrho_i</math> — независимые случайные величины с нулевым матожиданием и единичной дисперсией; <math>\sigma^2(x)</math> — дисперсия начальных скоростей частиц, являющаяся медленно изменяющейся функцией пространственной координаты <math>x=ia</math>, где <math>a</math> — шаг кристаллической решетки. Данные начальные условия можно интерпретировать как результат воздействия на кристалл ультракороткого лазерного импульса. На границах используются условия периодичности.

== Кинетическая температура (связь между микро и макро) ==

Кинетическая температура <math>T</math> определяется как
:<math>
     T(x) = \frac m{k_{B}}\langle\dot u_i^2\rangle,
</math>
где
<math>k_{B}</math> — постоянная Больцмана,
<math>i=x/a</math>, 
треугольными скобками обозначено математическое ожидание.

== Континуальное описание (макроуровень) ==

{{oncolor||blue|—}} Обратимое уравнение теплопроводности: <math>\ddot T +\frac1t\dot T = c^2 T''</math>  —  уравнение, выведенное как прямое следствие дискретных уравнений динамики кристалла [http://arxiv.org/abs/1509.02506].

Обозначения:
<math>t</math> — время (переменная),
<math>c</math> — скорость звука.

== Классические континуальные уравнения ==

{{oncolor||red|—}} Теплопроводности (Фурье): <math>\dot T = \beta T''</math> [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8]

{{oncolor||#008888|—}} Максвелла-Каттанео-Вернотта: <math>\ddot T +\frac1\tau\dot T = \frac\beta\tau T''</math>.

{{oncolor||#00ff00|—}} Волновое (Д’Аламбер): <math>\ddot T = c^2 T''</math> [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5]

Обозначения:
<math>\tau</math> — время релаксации (константа),
<math>\beta</math> — температуропроводность,
<math>\kappa</math> — теплопроводность,
<math>\rho</math> — плотность.

== Публикации по теме ==

* [[A.M. Krivtsov]]. '''On unsteady heat conduction in a harmonic crystal.''' 2015, ArXiv:1509.02506 ([http://arxiv.org/abs/1509.02506 abstract], [http://arxiv.org/pdf/1509.02506v2.pdf pdf]) 

* [[А.М. Кривцов]]. '''Колебания энергий в одномерном кристалле'''. [http://www.maik.ru/cgi-perl/journal.pl?lang=rus&name=dan Доклады Академии Наук]. 2014, том 458, № 3, 279-281 (pdf: [[Медиа: Krivtsov_2014_DAN_rus_corrected.pdf| 180 Kb]]).   English version: [[A.M. Krivtsov]]. '''Energy oscillations in a one-dimensional crystal.''' [http://www.maik.ru/cgi-perl/journal.pl?lang=rus&name=dan Doklady Akademii Nauk].  Doklady Physics, 2014, Vol. 59, No. 9, pp. 427–430 (pdf: [[Медиа: Krivtsov_2014_DAN_eng_corrected.pdf| 162 Kb]]).

== Презентации ==

* [[А.М. Кривцов]]. '''Особенности термомеханических процессов в сверхчистых материалах.''' [http://ruscongrmech2015.ru/ XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики], 2015, Казань. Доклад: [[Медиа: Krivtsov_2015_08_22_Kazan_10_updated_151010_.pdf|pdf: 2768Kb]]

== Проекты по теме ==
* [[Распространение тепла в гармоническом одномерном кристалле]]
** [[Распространение тепла в гармоническом одномерном кристалле: регулярная температура | регулярная температура]]
** [[Распространение тепла в гармоническом одномерном кристалле: периодическая температура| периодическая температура]]
** [[Распространение тепла в гармоническом одномерном кристалле: зависимость от коэффициента| зависимость от коэффициента]]

[[Category: Виртуальная лаборатория]]
[[Category: Проект "Термокристалл"]]