Редактирование: Двумерное уравнение теплопроводности + волновое уравнение

[[Виртуальная лаборатория]] > [[Двумерное уравнение теплопроводности + волновое уравнение]] <HR>

Численное решение двумерного уравнения теплопроводности и двумерного волнового уравнения.

{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/Tcvetkov/Heat_Wave_2D/Wave_Heat_2D_v2-4_release/Wave_Heat_2D.html |width=960 |height=965 |border=0 }}


Управление:
* '''''Левая кнопка мыши''''' - нагреть область
* '''''Средняя кнопка мыши''''' - придать области нормальную температуру
* '''''Правая кнопка мыши''''' - охладить область



Скачать [[Медиа:Wave_Heat_2D_v2-4_release.zip|Wave_Heat_2D_v2-4_release.zip]]. 

Текст программы на языке JavaScript (разработчики [[Цветков Денис]], [[Кривцов Антон]]): <toggledisplay status=hide showtext="Показать↓" hidetext="Скрыть↑" linkstyle="font-size:default"> 
Файл '''"Wave_Heat_2D.js"'''
<syntaxhighlight lang="javascript" line start="1" enclose="div">
window.addEventListener("load", main_equations, false);
function main_equations() {

    // Предварительные установки
    var canv = init_canvas(Wave_Heat_2D_canvas);

    var a0 = 1;                             // масштаб расстояния
    var t0 = 1;                             // масштаб времени
    var m0 = 1;                             // масштаб массы
    var T0 = 1;                             // масштаб температуры

    var dx = 1 * a0;                        // шаг сетки по оси x
    var dy = 1 * a0;                        // шаг сетки по оси y

    var spf = 2;                            // steps per frame - сколько расчетов проходит за каждый кадр отображения
    var fps = 15;                           // frames per second - количество кадров в секунду
    var dt = 0.005 * t0;                    // шаг интегрирования по времени
    var t = 0;

    var p0 = m0 / (a0 * a0 * a0);           // единица плотности, кг/м3
    var c0 = a0 * a0 / (t0 * t0 * T0);      // единица удельной теплоемкости, Дж/(кг * К)    (Дж = кг * м2 / с2)
    var kap0 = m0 * a0 / (t0 * t0 * t0 * T0);// единица теплопроводности (каппа)

    var p = 0.15 * p0;
    var c = 0.2 * c0;
    var k = 1 * kap0;
    var X = k / (c * p);                    // температуропроводность (хи)

    var Nx = 50 + 2;                        // количество узлов по оси x + 2 для ГУ
    var Ny = 50 + 2;                        // количество узлов по оси y + 2 для ГУ

    var cell_w = canv.w / (Nx - 2);         // ширина клетки
    var cell_h = canv.h / (Ny - 2);         // высота клетки

    var T_max = 10 * T0;
    var T_min = - T_max;

    var k0 = 2 * Math.PI / t0;              // масштаб частоты
    var C0 = m0 * k0 * k0;                  // масштаб жесткости

    var m = 1 * m0;                 	    // масса
    var C = 1 * C0;                 	    // жесткость

    var omega = Math.sqrt(C / m);
    var cc = 2.3 * a0 * omega;

    var pause = false;
    button_pause.onclick = function () {pause = !pause;};
    button_clear.onclick = clear_button_func;
    function clear_button_func() {
        clear_all();
        draw();
    }
    function clear_all() {
        for (var i = 1; i < Nx - 1; i++)
        for (var j = 1; j < Ny - 1; j++) {
                T[i][j].u = 0;
                T[i][j].v = 0;
                T[i][j].BC = false;
        }
        BC2 = [];
    }

    var koeff1;

    // начальные условия - распределение Гаусса
    var T = [];
    for (var i = 0; i < Nx; i++) {
        T[i] = [];
        for (var j = 0; j < Ny; j++) {
            T[i][j] = {};
            var x = i / (Nx - 1);
            var y = j / (Ny - 1);

            var width = 0.05;
            var power = 15;
            var minus = 0;

            T[i][j].u = Math.exp(-Math.pow(x - 0.5, 2) / width) * Math.exp(-Math.pow(y - 0.5, 2) / width) * power - minus;
            T[i][j].v = 0;
            T[i][j].BC = false;
        }
    }

    function set_calc_func() {
        if (radio_heat.checked) {
            heat_equation = true;
            slider_damping_power.disabled = true;
            damping_span.style.color="#888888";
            koeff1 = X / (dx * dy);
        } else {
            heat_equation = false;
            slider_damping_power.disabled = false;
            damping_span.style.color="#000000";
            koeff1 = cc * cc / (dx * dy);
        }
    }
    var heat_equation;
    set_calc_func();
    radio_heat.onchange = set_calc_func;
    radio_wave.onchange = set_calc_func;

    function set_BC_func() {
        if (radio_BC_mirror.checked) BC_mirror();
        else if (radio_BC_periodic.checked) BC_periodic();
    }
    radio_BC_mirror.onclick = set_BC_func;
    radio_BC_periodic.onclick = set_BC_func;

    // функции и переменные, объявленные через this, можно будет вызывать по сокращенному названию (например, sin(x), PI)
    var math_methods = Object.getOwnPropertyNames(Math);
    for (var i in math_methods)
        this[math_methods[i]] = Math[math_methods[i]];

    var damping_power = 0;
    slider_damping_power.min = 0;
    slider_damping_power.max = 5;
    slider_damping_power.step = 5 / 100;
    slider_damping_power.value = damping_power;
    slider_damping_power.oninput = function() {damping_power = slider_damping_power.value};

    apply_IC_button.onclick = apply_IC;
    function apply_IC() {
        var script = document.createElement('script');
        script.innerHTML = "function IC_function(nx, ny, M, M_max, M_min, t, add_BC2) {" +
            "for (var i = 0; i < nx; i++) {\r\n" +
            "    for (var j = 0; j < ny; j++) {\r\n" +
            IC_text.value + "}}};";
        document.getElementsByTagName('head')[0].appendChild(script);
        clear_all();
        IC_function(nx, ny, M, T_max, T_min, t, add_BC2);
        draw();
    }
    clear_IC_window_button.onclick =  clear_IC_window;
    function clear_IC_window() {
        IC_text.value = "";
//        IC_text.value =
//            "for (var i = 0; i < nx; i++) {\r\n" +
//            "    for (var j = 0; j < ny; j++) {\r\n" +
//            "       \r\n" +
//            "    }\r\n" +
//            "}";
    }
    var functions_for_buttons = [
        "M[i][j].u = M_max * (sin(i / (nx - 1) * 2 * PI));\r\n"
       ,"M[i][j].v = M_max * (sin(i / (nx - 1) * 2 * PI));\r\n"
       ,"M[i][j].u = M_max * pow(sin(i / (nx - 1) * 2 * PI), 25);\r\n"
       ,"M[i][j].u = M_max * (sin((i + j) / (2*(nx - 1)) * 2 * PI));\r\n"
       ,"var lx = 0.5 - i / (nx - 1);\r\n" +
        "var ly = 0.5 - j / (ny - 1);\r\n" +
        "M[i][j].u = sin(sqrt(lx * lx + ly * ly) * 12 * PI) * 6;\r\n"
       ,"var lx = 0.5 - i / (nx - 1);\r\n" +
        "var ly = 0.5 - j / (ny - 1);\r\n" +
        "M[i][j].u = 1 / max(sqrt(lx * lx + ly * ly), 0.01);    // max - чтобы избежать деления на 0\r\n"
       ,"M[i][j].u = M_max * sin(i / (nx - 1) * 4 * PI) * sin(j / (ny - 1) * 4 * PI);\r\n"
       ,"M[i][j].u = M_max * sin(i / (nx - 1) * nx * PI) * sin(j / (ny - 1) * ny * PI);\r\n"
       ,"M[i][j].u = M_max * (min(sin(i / (nx - 1) * 9 * PI), sin(j / (ny - 1) * 9 * PI)));\r\n"
       ,"M[i][j].u = M_max * (2 * random() - 1);\r\n"
       ,"M[i][j].u = M_max * pow(2 * random() - 1, 201);\r\n"
       ,"M[i][j].u = - M_max * (sin(i / (nx - 1) * PI) * random());\r\n"
       ,"M[i][j].u = 2 * M_max * (i / (nx - 1)) - M_max;\r\n"
       ,"M[i][j].u = i / (nx - 1) * j / (ny - 1) * M_max;\r\n"
       ,"if (i == 0) {\r\n" +
        "    M[i][j].u = M_max;\r\n" +
        "    M[i][j].BC = true;\r\n" +
        "} else if (i == nx - 1) {\r\n" +
        "    M[i][j].u = M_min;\r\n" +
        "    M[i][j].BC = true;\r\n" +
        "}\r\n"
       ,"if (i == 0) {\r\n" +
        "    if ((j >= 35 && j <= ny)) M[i][j].u = M_max;\r\n" +
        "    else M[i][j].u = M_min;\r\n" +
        "    M[i][j].BC = true;\r\n" +
        "} else if (i == nx - 1) {\r\n" +
        "    if (Math.round(j - j % 10) % 8 == 0) M[i][j].u = M_min;\r\n" +
        "    else M[i][j].u = M_max;\r\n" +
        "M[i][j].BC = true;\r\n" +
        "}\r\n"
       ,"if (j >= 20 && j <= 29) {\r\n" +
        "    if (i == nx / 2 - 1) {\r\n" +
        "        M[i][j].u = M_max;\r\n" +
        "        M[i][j].BC = true;\r\n" +
        "    } else if (i == nx / 2) {\r\n" +
        "        M[i][j].u = M_min;\r\n" +
        "        M[i][j].BC = true;\r\n" +
        "    }\r\n" +
        "}\r\n"
       ,"if (j >= 24 && j <= 25 && (i == nx / 2 - 1 || i == nx / 2))\r\n" +
        "    add_BC2(function(t){return sin(t * 10) * 10;}, i, j);\r\n"
//       ,"        if (((i == 20 || i == 30) && j >= 40) || ((j == ny - 1 || j == 40) && i > 20 && i < 30)) {\r\n" +
//        "            M[i][j].u = 0;\r\n" +
//        "            M[i][j].BC = true;\r\n" +
//        "        }\r\n" +
//        "        //M[25][40].BC = false;\r\n" +
//        "        M[25][40].u = M_min;\r\n" +
//        "        if (i > 20 && i < 30 && j > 40 && j < 49) {\r\n" +
//        "            M[i][j].u = M_min;\r\n" +
//        "            M[i][j].BC = true;\r\n" +
//        "        }\r\n"
    ];
    function generate_function_buttons() {
        for (var i = 0; i < functions_for_buttons.length; i++) {
            var btn = document.createElement('input');
            btn.type = "button";
            btn.value = i + 1;
            btn.onclick = function(i) {
                return function() {
                IC_text.value =
//                    "for (var i = 0; i < nx; i++) {\r\n" +
//                    "    for (var j = 0; j < ny; j++) {\r\n" +
                        functions_for_buttons[i];// +
//                    "    }\r\n" +
//                    "}";
                    apply_IC();
                }
            }(i);
            generated_buttons_span.appendChild(btn);
        }
    }
    generate_function_buttons();
    IC_text.value = functions_for_buttons[0];


    // граничные условия
    function BC_periodic() {
        for (i = 1; i < Nx - 1; i++) {
            T[i][0] = T[i][Ny - 2];
            T[i][Ny - 1] = T[i][1];
        }
        for (j = 0; j < Ny; j++) {
            T[0][j] = T[Nx - 2][j];
            T[Nx - 1][j] = T[1][j];
        }
    }
    function BC_mirror() {
        for (i = 1; i < Nx - 1; i++) {
            T[i][0] = T[i][1];
            T[i][Ny - 1] = T[i][Ny - 2];
        }
        for (j = 0; j < Ny; j++) {
            T[0][j] = T[1][j];
            T[Nx - 1][j] = T[Nx - 2][j];
        }
    }
    BC_mirror();

    // дублирующий массив без ГУ и переменные, для внешнего интерфейса
    var M = [];
    for (var i = 0; i < Nx - 2; i++) {
        M[i] = [];
        for (var j = 0; j < Ny - 2; j++) {
            M[i][j] = T[i + 1][j + 1];
        }
    }
    var nx = Nx - 2;
    var ny = Ny - 2;

    // массив для граничных условий Коши 2-го рода
    var BC2 = [];
    function add_BC2(func, i, j) {
        BC2.push({F:func, i:i, j:j});
    }

    var color_N = 120;                           // цветов не больше, чем color_N, саму переменную color_N в расчетах лучше не использовать
    var colors = prepare_colors(color_N);
    var cell_pics = prepare_cell_pics(colors);

    function control() {
        if (!pause) {
            calculate_steps(spf, dt);
            draw();
        }
    }
    setInterval(control, 1000 / fps);                       // Запуск системы

    // Работа с мышью

    Wave_Heat_2D_canvas.onmousedown = function(e){           // функция при нажатии клавиши мыши
        var T1;
        if (e.which == 1) T1 = T_max * 0.3;        // при нажатии левой клавиши мыши клетка нагревается
        else if (e.which == 2) T1 = 0;        // при нажатии средней клавиши мыши клетка нагревается
        else if (e.which == 3) T1 = T_min * 0.3;              // при нажатии правой клавиши мыши клетка остывает
        else return false;

        var area = (e.which != 2);
        set_cell(e, T1, area);
        Wave_Heat_2D_canvas.onmousemove = function(e) {set_cell(e, T1, area);};   // функция, выполняющаяся при перемещении курсора мыши
        return false;
    };

    document.onmouseup = function(e){           // функция при отпускании клавиши мыши
        Wave_Heat_2D_canvas.onmousemove = null;              // когда клавиша отпущена - функции перемещения нету
    };

    function set_cell(e, T1, area){       // придать клетке определенное состояние с нажатия клавиши мыши
        var m = mouse_coords(e);                // обновить координаты в переменных mouseX, mouseY
        if (m.x < 0 || m.x >= canv.w || m.y < 0 || m.y >= canv.h) return;         // проверка на ошибочные координаты
        var i = Math.floor(m.x / cell_w) + 1;       // получаем ячейку по горизонтали
        var j = Math.floor(m.y / cell_h) + 1;       // получаем ячейку по вертикали
        // везде прибавляем 1 - из за периодических условий массив сдвинут на 1
        if (!area) {
            if (!T[i][j].BC) {
                T[i][j].u = T1;
                draw_cell(i, j);
            }
        }
        else for (var shift_i = -3; shift_i <= 3; shift_i++) {
            var ii;
            if (i + shift_i < 1) {
                if (!radio_BC_periodic.checked) continue;
                ii = i + shift_i + Nx - 2;
            }
            else if (i + shift_i > Nx - 2) {
                if (!radio_BC_periodic.checked) continue;
                ii = i + shift_i - Nx + 2;
            }
            else ii = shift_i + i;
            for (var shift_j = -3; shift_j <= 3; shift_j++) {
                var jj;
                if (j + shift_j < 1) {
                    if (!radio_BC_periodic.checked) continue;
                    jj = j + shift_j + Ny - 2;
                }
                else if (j + shift_j > Ny - 2) {
                    if (!radio_BC_periodic.checked) continue;
                    jj = j + shift_j - Ny + 2;
                }
                else jj = shift_j + j;

                if (T[ii][jj].BC) continue;

                var r = Math.abs(shift_i) + Math.abs(shift_j);

                var T_new;
                if (r == 0) T_new = T1;
                else if (r == 1) T_new = T1 / 20 * 15;
                else if (r == 2) T_new = T1 / 20 * 6;
                else if (r == 3) T_new = T1 / 20;
                else continue;
                
                T[ii][jj].u += T_new;
                if (T[ii][jj].u > T_max) T[ii][jj].u = T_max;
                if (T[ii][jj].u < T_min) T[ii][jj].u = T_min;
                draw_cell(ii, jj);
            }
        }
    }

    function mouse_coords(e) {                  // функция возвращает экранные координаты курсора мыши
        var m = [];
        var rect = Wave_Heat_2D_canvas.getBoundingClientRect();
        m.x = e.clientX - rect.left;
        m.y = e.clientY - rect.top;
        return m;
    }

    function calculate_steps(spf, dt) {
        for (var s = 0; s < spf; s++) {
            for (var i = 1; i < Nx - 1; i++) {
                for (var j = 1; j < Ny - 1; j++) {
                    if (T[i][j].BC) continue;
                    if (heat_equation) T[i][j].v = (T[i + 1][j].u + T[i][j + 1].u - 4 * T[i][j].u + T[i - 1][j].u + T[i][j - 1].u) * koeff1;
                    else T[i][j].v += ((T[i + 1][j].u + T[i][j + 1].u - 4 * T[i][j].u + T[i - 1][j].u + T[i][j - 1].u) * koeff1 - T[i][j].v * damping_power) * dt;
                }
            }

            for (var i = 1; i < Nx - 1; i++) {
                for (var j = 1; j < Ny - 1; j++) {
                    T[i][j].u += T[i][j].v * dt;
                }
            }
            for (var i = 0; i < BC2.length; i++) {
                var f = BC2[i];
                M[f.i][f.j].u = f.F(t);
            }
            t += dt;
        }
    }

    function draw() {
        canv.ctx.clearRect(0, 0, canv.w, canv.h);               // очистить экран
        for (var i = 1; i <= Nx - 1; i++) {
            for (var j = 1; j <= Ny - 1; j++) {
                var col = Math.round((T[i][j].u - T_min) * (colors.length - 1) / (T_max - T_min));            // 0 <= col <= color_N
                if (col < 0) col = 0;
                if (col >  (colors.length - 1)) col =  (colors.length - 1);
                canv.ctx.drawImage(cell_pics[col], (i - 1) * cell_w, (j - 1) * cell_h);
            }
        }
    }
    function draw_cell(i, j) {
        var col = Math.round((T[i][j].u - T_min) * (colors.length - 1) / (T_max - T_min));            // 0 < col < color_N
        canv.ctx.drawImage(cell_pics[col], (i - 1) * cell_w, (j - 1) * cell_h);
    }

    function RGBtoHEX(r, g, b) {
        return "#" + ((1 << 24) + (r << 16) + (g << 8) + b).toString(16).slice(1);
    }
    function prepare_colors(N) {
        var col = [];
        var n = N / 6 - 1;
        for (var i = 0; i < 256; i += Math.floor(255 / n))
            col.push(RGBtoHEX(255 - i, 255, 255));
        for (var i = 0; i < 256; i += Math.floor(255 / n))
            col.push(RGBtoHEX(0, 255 - i, 255));
        for (var i = 0; i < 256; i += Math.floor(255 / n))
            col.push(RGBtoHEX(0, 0, 255 - i));
        for (var i = 0; i < 256; i += Math.floor(255 / n))
            col.push(RGBtoHEX(i, 0, 0));
        for (var i = 0; i < 256; i += Math.floor(255 / n))
            col.push(RGBtoHEX(255, i, 0));
        for (var i = 0; i < 256; i += Math.floor(255 / n))
            col.push(RGBtoHEX(255, 255, i));
        return col;
    }
    function prepare_cell_pics(col) {
        var pics = [];
        for (var i = 0; i < col.length; i++) {
            var cell = document.createElement('canvas');
            var cell_ctx = cell.getContext('2d');

            cell_ctx.fillStyle = col[i];
            cell_ctx.beginPath();
            cell_ctx.rect(0, 0, cell_w, cell_h);
            cell_ctx.fill();
            pics.push(cell);
        }
        return pics;
    }

    function init_canvas(canvas) {
        canvas.onselectstart = function () {return false;};     // запрет выделения canvas
        canvas.oncontextmenu = function () {return false;};      // блокировка контекстного меню

        var canv_obj = {};
        canv_obj.ctx = canvas.getContext("2d");                  // на context происходит рисование
        canv_obj.w = canvas.width;          // ширина окна в расчетных координатах
        canv_obj.h = canvas.height;         // высота окна в расчетных координатах

        return canv_obj;
    }

}
</syntaxhighligh>
Файл '''"Wave_Heat_2D.html"'''
<syntaxhighlight lang="html" line start="1" enclose="div">
<!DOCTYPE html>
<html>
<head>
    <meta charset="UTF-8" />
    <title>Wave 2D</title>
    <script src="Wave_Heat_2D.js"></script>
</head>
<body>
    <table align=center>
        <tr>
            <td><canvas id="Wave_Heat_2D_canvas" width="650" height="650" style="border:1px solid #000000; border-radius:6px; margin-bottom: -5px"></canvas><br>
            <td style="font:bold 12px sans-serif; color:#003366; background-color: #bbbbdd; border-radius:10px; padding: 8px; padding-right: 12px; vertical-align:top">
                <div style="text-align: center; font: bold italic 20px Arial, 'Helvetica Neue', Helvetica, sans-serif;">Опции</div>
                <hr>
                <input type="radio" id="radio_heat" name="eq_radio" /> Уравнение теплопроводности<br>
                <input type="radio" id="radio_wave" name="eq_radio" checked/> Волновое уравнение<br><br>
                <span id="damping_span">Сила затухания:</span><br><input type="range" id="slider_damping_power" style="width: 150px;"><br><br>
                <input type="button" id="button_pause" value="Пауза/Старт"/><br>
                <input type="button" id="button_clear" value="Очистить"/><br><br>
                <hr>
                <span style="color: #000000">Граничные условия:</span><br>
                <input type="radio" id="radio_BC_mirror" name="BC_radio" checked/>Зеркальные<br>
                <input type="radio" id="radio_BC_periodic" name="BC_radio" />Периодические<br>
            </td>
        </tr>
        <tr>
            <td colspan="2" style="font:bold 12px sans-serif; color:#333333; background-color: #cccccc; border-radius:10px; padding: 8px; padding-right: 12px; vertical-align:top">
                <div style=" padding-bottom: 6px">
                <abbr style="border-bottom: 1px dotted black;"
                      title="Сюда можно вписать код на языке JavaScript, который будет задавать двумерные ГУ системы.&#10;Задавать можно следующие значения:&#10;    M[i][j].u - температура/перемещение;&#10;    M[i][j].v - первая производная (имеет смысл задавать только для волнового уравнения).&#10;Также можно использовать следующие переменные:&#10;    nx, ny - количество частиц по горизонтали и по вертикали;&#10;    M_max, M_min - максимальное и минимальное значение, возможное в массиве (на эти значения настроен цветовой диапазон программы, значения, выходящие за пределы, могут отображаться некорректно).&#10;Превратить участок в ГУ можно с помощью M[i][j].BC = true;">Начальные условия:</abbr>
                </div>
                for (var i = 0; i < nx; i++) {<br>
                &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;for (var j = 0; j < ny; j++) {
                <textarea id="IC_text" cols="40" rows="5" wrap=off style="width:95%; height:5.3em; resize: vertical;"></textarea><br>
                &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;}<br>
                }<br>
                <input type="button" id="apply_IC_button" value="Применить" style="margin-top: 8px"/>
                <input type="button" id="clear_IC_window_button" value="Очистить поле для ввода"/><br><br>
                <span style="padding: 0 4px 0 0;">Примеры:</span><span id="generated_buttons_span"></span>
            </td>
            <td></td>
        </tr>
        <tr><td colspan="2" style="font:italic bold 12px Georgia, sans-serif; color:#ffffff; background-color: #888888; border-radius:6px; padding: 8px;">
            <a href="http://tm.spbstu.ru/%D0%A6%D0%B2%D0%B5%D1%82%D0%BA%D0%BE%D0%B2_%D0%94%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%81_%D0%92%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D1%80%D1%8C%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D1%87">Denis Tcvetkov</a>
            &
            <a href="http://tm.spbstu.ru/%D0%90.%D0%9C._%D0%9A%D1%80%D0%B8%D0%B2%D1%86%D0%BE%D0%B2">Anton Krivtsov</a>
            &copy 2014
        </td></tr>

    </table>
</body>
</html>
</syntaxhighligh>
</toggledisplay>

[[Category: Виртуальная лаборатория]]