Редактирование: КП: Динамика несферических гравитирующих тел

[[А.М. Кривцов]] > [[Теоретическая механика: физико-механический факультет|Теоретическая механика]] > [[Курсовые проекты ТМ 2013|Курсовые проекты 2013]] > '''Динамика несферических гравитирующих тел''' <HR>


'''''Курсовой проект по [[Теоретическая механика: физико-механический факультет|Теоретической механике]]'''''

'''Исполнитель:''' [[Прокопенко Анастасия]]

'''Группа:''' [[Группа 07|07]] (20510)

'''Семестр:''' весна 2013

== Аннотация проекта ==
Данный проект посвящён динамике несферических гравитирующих тел. 
Тела, не обладающие сферической симметрией, интересны тем, что их сила притяжения отличается от классического закона всемирного тяготения на асимптотически главный член. 

== Постановка задачи ==
[[Файл:20133.png]]

Даны два несферических тела, а именно две гантели. Для выполнения первого этапа нужно считать одну из гантелей неподвижной и рассматривать её как материальную точку. Из неё проводится радиус-вектор <math>\vec{r}</math> в центр масс второй частицы. 

<math>\varphi</math> - это угол поворота, который характеризует на сколько повернулась вторая частица относительно своего изначального положения.

<math>M</math> - масса неподвижной частицы.

<math>m_{1} + m_{2}</math> - масса подвижной частицы.

== Общие сведения по теме ==
На первом этапе одна из частиц считается неподвижной и рассматривается как материальная точка. На следующем этапе планируется рассмотреть обе частицы как несферические тела, которые вращаеются вокруг неподвижной точки.

== Решение ==
Запишем силу притяжения рассматриваемой системы тел: <math>\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2}</math>. 

Отсюда получаем после разложения в ряд Тейлора <math>\vec{F} = F_x\vec{i} + F_y\vec{j}</math>, где <math>F_x = \frac{A}{r^2} + \frac{B}{r^3}</math>, <math>F_y = \frac{C}{r^3}</math>. 

Величины <math>A,B,C</math> включают в себя массы всех тел и угол поворота подвижной частицы.

Полученное выражение для силы нужно записать в полярных координатах. Для этого спроецируем силу на вектора:

<math>\vec{e_r} = \cos\theta\vec{i} + \sin\theta\vec{j}</math>

<math>\vec{e}_\theta = \cos\theta\vec{i} + \sin\theta\vec{j}</math>

А тогда сила примет вид:

<math>\vec{F}=F_r\vec{e}_r+F_\theta\vec{e}_\theta</math>

Момент такой системы: <math>\vec{M} = \frac{D}{r^3}\vec{k}</math>. 

Величина <math>D</math> также включают в себя массы всех тех и угол поворота подвижной частицы.

Запишем <math>J</math> - момент инерции:

<math>J = 2(m_{1} + m_{2})R^2</math>, где <math>R</math> характеризует положение центра масс подвижной частицы.  

Таким образом, можно записать систему дифференциальных уравнений, которые и будут описывать движение несферических тел в данной задачи:

<math>(m_{1} + m_{2})\vec{\ddot{r}} = \vec{F}</math> 
        
<math>J\ddot{\theta} = M</math>

Или же с учётом проекций:

<math>(m_{1} + m_{2})\ddot{r}_r = F_r</math> 

<math>(m_{1} + m_{2})\ddot{r}_\theta = F_\theta</math> 
        
<math>J\ddot{\theta} = M</math>
           
== Обсуждение результатов и выводы ==


== Ссылки по теме == 
[[Гравитационное притяжение тел нестандартной формы]]

== См. также ==

* [[Справка:Содержание|Справочная информация]]
* [[Курсовые проекты ТМ 2012|Курсовые проекты 2012]]
* [[Курсовые проекты ТМ 2013|Курсовые проекты 2013]]


[[Category: Студенческие проекты]]