Редактирование: Модель Скотта

'''Модель Скотта''' - это механическая система, которая служит для демонстрации солитонных решений уравнения sin-Гордона (Френкеля-Конторовой) вида: <math>\ddot{u} - u'' = -\sin u</math>

== Краткие исторические сведения о солитонах ==

Уединенные волны (солитоны) впервые стали предметом научных исследований в 1834 году благодаря английскому инженеру Джону Скотту Расселу, проводившему судоходные эксперименты в канале [https://maps.google.com/maps/ms?msa=0&msid=200760356932241174610.0004d8db4489615a2bb0e&hl=en&ie=UTF8&ll=55.916314,-3.305855&spn=0.081673,0.222988&t=m&z=13&vpsrc=6&iwloc=0004d8db448ab3603711f Юнион, недалеко от Эдинбурга]. В своих трудах он описал увиденное им явление так: 

''"... масса воды... собралась около носа судна... затем неожиданно оставила его позади, катясь вперед с огромной скоростью и принимая форму большого одиночного возвышения, т.е. округлого, гладкого и четко выраженного водяного холма, который продолжал свой путь вдоль канала, ни сколько не меняя своей формы и не снижая скорости..."'' <ref name="ScottR"/>

Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных, которое является математическим описанием "гидродинамической уединеной волны Рассела" или "солитона Рассела" было получено лишь около 60 лет спустя, в 1895 году Дидериком Кортевегом и Густавом де Вризом.

Второе рождение уединенные в''о''лны пережили в 1965 году, когда исследователи М. Крускал и Н. Забуски, проведя численный эксперимент, установили, что нелинейная волна обладает свойствами, характерными скорее для частиц. Выяснилось, что уединенные волны не проходят друг через друга (как это считалось во времена Рассела), а отталкиваются подобно упругим телам. Название "уединенная волна" было немедленно заменено термином "солитон", созвучным с названием элементарных частиц. 

Парадоксально, что способность проявлять свойства как упругих тел так и волн сначала были установлены у объектов настолько малых размеров, что наблюдать их можно было лишь косвенно, и только затем, спустя почти пол века, обнаружены у объектов макро мира. 

Стоит заметить, что солитонные решения инвариантны относительно преобразования Лоренца <ref name="ScottA"/>, из этого следует, что при приближении скорости солитона к скорости звука в среде, он испытывает сокращение своих размеров в направлении движения. В специальной теории относительности (СТО) аналогичный эффект называется "сокращение Лоренца" и вместо скорости звука в среде фигурирует скорость света в вакууме.

== Виды солитонов (уединенных нелинейных волн) ==

Свойства линейных волн:

*скорость всех линейных волн одинакова и зависит только от свойств среды
*амплитуда и частота линейных волн связаны простым соотношением <math>\omega = c/\lambda</math>
*линейные волны свободно проходят друг через друга, образуя интерференционную картину

Некоторые виды нелинейных волн и их свойства:

*стоячие волны - не двигаются, совершая колебания на одном месте; частота таких колебаний должна быть отстроена от собственных частот системы
*кинки и антикинки - топологические солитоны, различающиеся разным направление закрученности; взаимоуничтожаются при столкновении "кинк-антикинк" как частицы с разноименными зарядами и отталкиваются как упругие тела при взаимодействии типа "кинк-кинк", скорость кинка зависит от его размера
*бризеры - могут как стоять на месте, так и двигаться; представляют собой повторяющийся процесс рождения-взаимоуничтожения кинка и анитикинка; частота этого периодического процесса должна быть отстроена от собственных частот системы
*тахионы - перемещаются быстрее скорости распространения линейных волн в среде (так же называются гипотетические элементарные частицы, перемещающиеся со скоростью превышающей скорость света)

Разнообразие солитонных явлений <ref name="ScottA"/>:
Цунами, сверхвысокие волны (т.н. "фрики", от англ. ''freaks''), нервные импульсы, распространения света в оптических волокнах, локальные колебания в молекулах и молекулярных кристаллах, динамика [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%88%D0%BE%D0%B5_%D0%BA%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE Большого Красного Пятна на Юпитере] и т.д.

Уединенные волны наблюдаются в решениях следующих нелинейных дифференциальных уравнений: Кордевега де Вриза (описывает распространение солитона Рассела), нелинейного уравнения Шрёдингера (описывает распространение волновых пакетов на большой глубине), sin-Гордона (данное уравнение подробно рассматривается ниже). С этими и некоторыми другими уравнениями можно ознакомиться в книге <ref name="ScottA"/>.

== Уравнение sin-Гордона ==

Данное уравнение применяется для описания следующих процессов:

*перемещений дислокаций (ячейки кристаллической решетки с отсутствующим атомом) в кристаллах, взаимодействие дислокаций и антидислокаций (ячеек с лишним атомом) <ref name="FK"/>
*моделирования элементарных частиц <ref name="CEG"/>
*расплетания цепочки ДНК при репликации и динамики протяженных молекул <ref name="Dav"/>, <ref name="FK"/>
*распространения поперечных электромагнитных волн в длинном полосковом волноводе (полосковый волновод представляет собой слой диэлектрика, заключенный между двумя сверхпроводниками, через который протекает сверхпроводящий ток; данное явление известно под названием "эффект Джозефсона") <ref name="DJ"/>
*распространения границ доменов (доменом - макроскопическая область намагниченности в материале) ферромагнитных и ферроэлектрических материалов <ref name="FK"/>

== Экспериментальная установка ==

Уравнение sin-Гордона имеет простую механическую интерпретацию. Модель Скотта (Рис. 1) представляет из себя маятниковую решетку, в которой распространяются крутильные волны <ref name="Scott"/>.

[[Файл:Img3d_000008.jpg|450px|thumb|left|'''Рис. 1''' Фотография установки]]

Длина установки составляет 1.1м, 60 маятников длиной 12см закреплены с помощью деревянных цилиндров толщиной около 1см на пружине с шагом 5мм, навитой из проволоки ГОСТ 9389-75 (диаметр 0.7мм). Диаметр цилиндров подогнан под внутренний диаметр пружины (18мм). Цилиндры вращаются вокруг струны натянутой между кронштейнами. 

Для изготовления установки использовалось оборудование [[Мини Фаблаб]]. Работу выполнил [[Михаил Бабенков]]; 

16 марта 2013г., в клубе [[YES™]] состоялась итоговая лекция с демонстрацией работы установки.

== Вывод уравнения динамики механической системы ==

[[Файл:Scott.png|250px|thumb|right|'''Рис. 2''' Схематическое изображение модели]]

Маятники связаны пружинами с жесткостью <math>\kappa</math>, работающими на кручение (Рис. 2). Масса каждого маятника равна <math>m</math>, его момент инерции находится по формуле <math>m l^2</math>, где <math>l</math> - длина маятника. Расстояние между маятниками на оси <math>x</math> равно <math>d</math>.

Если отклонить <math>i</math>-ый маятник из положения равновесия на угол <math>\varphi_i</math>, то на него будут действовать момент силы тяжести <math>-mgl \sin \varphi_i</math>, момент со стороны предыдущей пружины <math>-\kappa(\varphi_i-\varphi_{i-1})</math> и момент со стороны следующей за ним пружины <math>-\kappa(\varphi_i-\varphi_{i+1})</math>, тогда систему разностных уравнений движения дискретной маятниковой системы можно записать так:

<math>m l^2 \ddot{\varphi} = -mgl \sin \varphi_i -\kappa(\varphi_i-\varphi_{i+1})-\kappa(\varphi_i-\varphi_{i-1})</math>

Или:

<math>m l^2 \ddot{\varphi} = -mgl \sin \varphi_i +\kappa(\varphi_{i+1} -2\varphi_i +\varphi_{i-1})</math>

Разделив все уравнение на <math>d^2</math>, перепишем в новых обозначениях:

<math>\ddot{\varphi} - c^2 \frac{\varphi_{i+1} -2\varphi_i +\varphi_{i-1}}{d^2} = -\Omega^2 \sin \varphi_i</math>

Где <math>c^2=\frac{\kappa d^2}{m l^2}</math>, <math>\Omega^2=\frac{g}{l}</math>

Для перехода к континуальной модели воспользуемся длинноволновым приближением, т.е. будем рассматривать волны, длина которых много больше расстояния между маятниками. Тогда, согласно определению производной, дробь <math>(\varphi_{i+1} -2\varphi_i +\varphi_{i-1})/(d^2)</math> можно заменить операцией дифференцирования по координате <math>x</math>:

<math>\ddot{\varphi} - c^2 \varphi '' = - \Omega^2 \sin \varphi</math>

Где <math>c</math> - скорость распространения линейных волн (волн с малой амплитудой) в среде.

Полученное уравнение называется уравнением sin-Гордона. 

Точные решения уравнения sin-Гордона (СГ) получаются с помощью преобразования Бэклунда. В книге <ref name="ScottA"/> приводятся аналитические решения для распространения одиночного СГ-солитона (кинка), взаимодействия двух однонаправленных кинков и кинк-антикинк аннигиляции.

Линеаризованное уравнение sin-Гордона (уравнение Клейна-Гордона) при малых значений угла <math>\varphi</math> описывает колебания тяжелой нити, лежащей на упругой подложке.

== Видео эксперимента ==

{{#widget:YouTube|id=s9faI2KmJsU}}

Фото и видео съемка: [[Голубчиков_Андрей|Андрей Голубчиков]], [[Фотомеханика™]]

На видео представлены: 

*линейные волны малой амплитуды 
*отталкивание (упругое взаимодействие) двух кинков 
*аннигиляция кинка и антикинка с выделением энергии в виде линейных волн
*кинк, увеличивающий свои размеры при уменьшении скорости за счет "сокращения Лоренца"
*рождение двух разноименных кинков
*отражение кинка от заделки без смены "знака" (направления закрученности)
*отражение от свободного конца, происходящее со сменой "знака"

Стоячие волны не возникают в механической модели, так как соответствующее решение уравнения sin-Гордона получается при "нефизичных" граничных условиях нулевых угловых деформаций <ref name="ScottA"/>.

== Обсуждение ==

Необычайная схожесть солитонов с объектами микромира порождает ряд интересных дискуссий, в т.ч. о природе электрического заряда. Способностям отталкиваться или аннигилировать СГ-солитон обязан своим топологическим свойствам: в зависимости от направления его закрученности ему можно сопоставить положительный или отрицательный "заряд".

Топология изучает объекты безотносительно их непрерывных деформаций (таких деформаций, которые происходят без разрывов и склеиваний), т.е. геометрические тела "кружка" и "бублик" с точки зрения топологии могут рассматриваться как идентичные (топологически гомеоморфные) объекты: [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%8F wiki].

Чтобы нагляднее представить как устроен СГ-солитон с точки зрения топологии, рассмотрим "солитон Эйлера", представляющий собой петлю на тонкой проволоке. Он топологически гомеоморфен кинкам в механической модели sin-Гордона (может быть получен из СГ-солитона путем непрерывных деформаций) и описывается почти тем же уравнением, что и СГ-солитон, но с той лишь разницей, что пространственную координату <math>x</math> и время <math>t</math> нужно поменять местами <ref name="Fill"/>.

Согласно одной из гипотез, заряженные элементарные частицы обладают своими свойствами благодаря тому, что топологически гомеоморфны рассмотренным объектам.

== Благодарности ==

Работа выполнена при финансовой поддержки [[Мурачёв_Андрей|Андрея Мурачева]], кафедра [[Теоретическая механика]] в рамках [http://www.fadm.gov.ru/news/13916/ гранта Росмолодежи], 

Автор выражает глубокую благодарность [[Голубчиков_Андрей|Андрею Голубчикову]], [[Фотомеханика™]] за профессиональную фото и видео съемку.

Автор благодарен сотрудникам [[Мини Фаблаб]], [[Фотомеханика™]] за помощь в освоении оборудования, необходимого для работы.

== Список литературы ==

<references>

<ref name="Scott">Scott, A.C.: A Nonlinear Klein-Gordon Equation, American Journal of Physics '''37'''(1), 52-61 (1969) </ref>

<ref name="ScottR">Russel, J.S.: Report on Waves, 14th meeting of the British Asossiation for the Advancement of Science (1844) </ref>

<ref name="ScottA">Скотт, Э.: Нелинейная наука: развитие и рождение когерентных структур (перевод с ''англ.''), Физматлит, Москва (2007) </ref>

<ref name="Fill">Filippov, A.T.: The Versatile Soliton, Springer, Berlin (2000) </ref>

<ref name="CEG">Caudrey, P.J., Eilbeck, J.C., Gibbon, J.D.: The sine-Gordon equation as a model classical field theory, Il Nuovo Cimento B Series '''25'''(2), 497-512 (1975) </ref>

<ref name="Dav">Давыдов, А.С.: Солитоны в квазиодномерных молекулярных структурах, УФН '''138''', 603–643 (1982) </ref>

<ref name="FK">Кившарь, Ю.С., Браун, О.М.: Модель Френкеля-Конторовой. Концепции, методы, приложения (перевод с ''англ.''), Физматлит, Москва (2005) </ref>

<ref name="DJ">Josephson, B.D.: Possible new effects in superconductive tunnelling, Phys. Lett. '''1'''(7), 251—253 (1962) </ref>

</references>