Редактирование: Курсовые работы по ТОМДЧ: 2012

'''Предмет:''' "Теоретическая механика"

'''Лектор:''' [[Кузькин Виталий Андреевич]]

'''Группа:''' 50510 

'''Семестр:''' весна 2012

== Моделирование падения столба жидкости методом гидродинамики сглаженных частиц (SPH) и молекулярной динамики (MD) ==

'''Исполнители''': [[Ольга Бразгина]] (SPH), [[Мурачев Андрей]](SPH), [[Павлов Павел]] (MD), [[Посысаев Сергей]] (MD)

''' Гидродинамика сглаженных частиц '''

Гидродинамика сглаженных частиц (англ. Smoothed Particle Hydrodynamics, SPH) — вычислительный метод для симуляции жидкостей и газов. Метод гидродинамики сглаженных частиц является несеточным лагранжевым методом (то есть координаты движутся вместе с жидкостью), и разрешающая способность метода может быть легко отрегулирована посредством таких переменных как плотность.

Эти частицы в пространстве находятся на некотором расстоянии, причем их влияние «сглаживается» весовой функцией. Это значит, что любая физическая величина любой частицы может быть получена путем суммирования соответствующих величин всех частиц, находящихся в пределах радиуса обрезания.

Влияниеодной частицы на другую описывается влиянием расстояния между ними на плотность. Математически, это описывается весовой функцией <math>\mathbf{W}</math>. В качестве такой функции часто используют функцию Гаусса (функция нормального распределения) или кубический сплайн. 

В данной работе использовалась весовая функция в форме, предложенной Lucy:

<math>W(r<a_{cut})=\left(\frac{5}{\pi a^2_{cut}}\right)\left( 1+3\frac{r}{a_{cut}}\right)\left( 1-\frac{r}{a_{cut}}\right)^3,</math>

где <math>a_{cut}</math>- радиус обрезания действия сил.

При этом плотность определяется следующим соотношением:

<math>\rho_i=\rho(\mathbf{r_i})=m\sum_j W(| \mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{j} |)</math>

Для определения скорости движения частиц решалось дифференциальное уравнение:

<math>\frac{d\mathbf{v_i}}{dt} = \sum_j\mathbf{F_{ij}}+\sum_j\mathbf{F_{ij}^{visc}}+\mathbf{g}.</math>

<math>\mathbf{F_{ij}} = -m \left(\left(\frac{P}{\rho}\right)^2_i-\left(\frac{P}{\rho}\right)^2_j\right) \cdot\bigtriangledown_i W(| \mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{j} |),</math>

где тензор напряжений имеет только шаровую часть:

<math>\mathbf{P}=-p\mathbf{E};</math>

давление задается соотношением:

<math>p=k\cdot(\rho(\mathbf{r})-\rho_{0}),</math>

<math>k</math> - модуль сжатия, <math>\rho_{0}</math> - равновесная плотность. 

Для учета вязкого трения использовалась сила

<math>\mathbf{F_{ij}^{visc}}=\gamma(\mathbf{v_i}-\mathbf{v_j})\cdot\mathbf{e_{ij}} \mathbf{e_{ij}}</math> 

<math>e_{ij}</math> - базисный вектор, соединяющий частицы,<math>\gamma</math> - коэффициент линейной вязкости.
	
[[Файл:Lennard-Jones-Potential 29-05.gif|thumb|Моделирование взаимодействия с помощью потенциала Леннарда-Джонса]] 
 		
[[Файл:SPH-29-05.gif|thumb|thumb|Моделирование метода SPH]]  


Гидродинамика сглаженных частиц всё более часто используется для моделирования движения жидкостей. Это происходит из-за некоторых преимуществ метода SPH по сравнению с традиционными основанными на сетке методиками. Во-первых, SPH гарантирует сохранение массы без дополнительных вычислений, так как частицы сами по себе представляют массу. Во-вторых, SPH вычисляет давление от воздействия соседних частиц, также имеющих массу, а не решает систему линейных уравнений. Наконец, в отличие от основанных на сетке методик, которые должны прослеживать границы жидкости, SPH создаёт свободную поверхность для непосредственно двухфазных взаимодействующих жидкостей, так как частицы представляют более плотную жидкость (обычно воду), а свободное пространство представляет более лёгкую жидкость (обычно воздух). По этим причинам благодаря SPH возможно моделировать движение жидкости в режиме реального времени.


''' [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B9_%D0%BC%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%BA%D0%B8 Метод классической молекулярной динамики] '''



С помощью метода сглаженных частиц и потенциала Леннард-Джонса решалась задача о падении столба жидкости решалась при одинаковых условиях (количество частиц 4800, шаг по времени, коэффициент линейной вязкости, а также параметры материала: расстояние между атомами, равновесное расстояние, радиус обрезания и др.), за исключением ускорения свободного падения. Это связано с тем, что при моделировании потенциалом Леннард-Джонса и методом SPH силы отталкивания задаются различным способом, при описании движения методом SPH ускорение свободного падения на порядок меньше. Для интегрирования дифференциальных уравнений использовался метод Эйлера, который является достаточно простым и наименее энергозатратным.


Сравнивая результаты моделирования методами SPH и с помощью потенциала Леннарда-Джонса, можно отметить следующие различия:

1.	При равных условиях моделирования метод динамики частиц требует большей гравитационной силы, что связано с большими силами отталкивания.

2.	По этой же причине частицы при отражении от стены сильнее отталкиваются и разлетаются.

3.	При уравновешивании системы методом динамики частиц образуется устойчивая ГЦК-структура, при моделировании SPH структура не настолько упорядочена. Это приводит к разности в высоте итоговой структуры, при расчетах методом SPH частицы скапливаются на дне.

== Моделирование пластического деформирования твердого тела под действием гравитации методом молекулярной динамики (MD) ==

'''Исполнители''': [http://tm.spbstu.ru/%D0%9F%D0%BB%D0%B5%D1%88%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%B2_%D0%9D%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D1%82%D0%B0  Плешаков Никита ]

----
[[Файл:F.gif|thumb|]]   
С помощью [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B9_%D0%BC%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%BA%D0%B8 метода молекулярной динамики] построена модель взаимодействия частиц. Численное интегрирование осуществлялось методом Эйлера. Для описания взаимодействия между частицами использовался [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB_%D0%9B%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%B4-%D0%94%D0%B6%D0%BE%D0%BD%D1%81%D0%B0 потенциал Леннард-Джонса]. Вязкое трение между частицами вводится посредством коэффициента при разности скоростей пары взаимодействующих частиц. Так же на каждую частицу действует массовая сила заданной величины(аналог гравитационных сил). Показателем адекватности модели являются графические результаты, которые имеют сходство с данными наблюдаемыми в эксперименте.

Далее представлены результаты моделирования для двух задач: 
[[Файл:Mat_flow.gif|thumb|]]

а) Пластическое течение столба вязкого материала в кубическом сосуде 

Данный опыт демонстрирует вязко-пластические свойства описываемого материала. Можно наблюдать как материал с течением времени пластически деформируется и принимает форму сосуда, что соответствует реальному поведению вязко-пластических материалов.
Исследуемое число частиц - 1728


б) Обтекание препятствия(полосы) вязко-пластическим материалом 

В качестве приложения рассмотрена задача обтекания препятствия. На представленной анимации наблюдается наблюдается как сдвиг пласта материала, так и расширение стенки в направлении перпендикулярном вектору массовых сил, что так же можно наблюдать в реальных экспериментах.
Исследуемое число частиц - 1944

== Ссылки ==
* [[Теоретические основы метода динамики частиц]]
* [[Кафедра "Теоретическая механика"]]

[[Category: Студенческие проекты]]