Редактирование: Степанов Алексей. Курсовой проект по теоретической механике

== Тема проекта ==
Описание колебаний плавающих тел.

== Постановка задачи ==
Найти уравнение колебаний для следующих тел:<br>
1) Шар<br>
2) Параллелепипед<br>
# Вертикальные колебания<br>
# "Бортовая качка"<br>

== Решение ==
1) '''Шар'''<br>

[[Файл:P1.jpg‎| 400px]]

ПУР: <math>mg = \rho g V_0 = \frac{\pi \rho g} {3} d_0^2 (3R-d_0);</math><br>
Второй закон Ньютона примет вид: <br>
<math>m \ddot x = mg - \frac{\pi \rho g} {3} (d_0+x)^2 (3R-d_0-x)</math><br>
<math>m \ddot x = -\frac{\pi \rho g} {3} d_0^3 + \pi \rho g d_0^2R - \frac{\pi \rho g} {3}(d_0+x)^2(3R-d_0-x)</math><br>
<math>m \ddot x = -\frac{\pi \rho g} {3} d_0^3 + \pi \rho g d_0^2R - \frac{\pi \rho g} {3}(d_0^2 + 2 d_0x + x^2)(3R-d_0-x)</math><br>
<math>m \ddot x = -\frac{\pi \rho g} {3} d_0^3 + \pi \rho g d_0^2R - \frac{\pi \rho g} {3}(d_0^2 + 2 d_0x + o(x^2))(3R-d_0-x)</math><br>
<math>m \ddot x = -\frac{\pi \rho g} {3} d_0^3 + \pi \rho g d_0^2R - \frac{\pi \rho g} {3}(d_0^2 + 2 d_0x + o(x^2))(3R-d_0-x)</math><br>
<math>m \ddot x = -\frac{\pi \rho g} {3} d_0^3 + \pi \rho g d_0^2R - \frac{\pi \rho g} {3}(3d_o^2R - d_0^3 + 6d_0Rx - 3d_0^2x)</math><br>
<math>m \ddot x =  - \frac{\pi \rho g} {3}(6d_0Rx - 3d_0^2x)</math><br>
<math>m \ddot x =  \pi \rho g d_0(-2 R + d_0)x</math>; <br>
Так как <math>(-2 R + d_0) < 0</math> формула имеет вид <math>m \ddot x + \pi \rho g d_0(2 R - d_0)x = 0</math> <br>
Остается проверить размерность величины <math>\frac{\pi \rho g d_0(2 R - d_0)} {m} = \frac {1} {s^2}</math> <br>
Уравнение колебаний найдено.<br>
2) '''Вертикальные колебания параллелепипеда''' <br>
ПУР: <math>mg = \rho g V_0 = \rho g S d_o;</math><br>
Второй закон Ньютона примет вид: <br>
<math>m \ddot x = mg -\rho g S (d_o + x)</math><br>
<math>m \ddot x =  -\rho g S x</math><br>
Остается проверить размерность величины <math>\frac{\rho g S} {m} = \frac {kg m^3} {s^2 m^3 kg} = \frac {1} {s^2}</math> <br>
Уравнение колебаний найдено.<br>
2) '''Бортовая качка''' <br>
<gallery widths=400px heights=100px perrow = 1>
Файл:P3.jpg‎
</gallery>
Очевидно, что модуль силы Архимеда остается постоянным(так как постоянным остается объем погруженной части тела в силу симметрии тела).
Меняется только точка приложения, что и создает момент силы Архимеда, вызывающий колебания. Тогда уравнения примут вид:<br>
<math>\Theta_c \ddot \varphi = F_a l cos \varphi = F_a l</math><br>
<math>l = h \frac {h tg\varphi} {6 d} = = h \frac {h \varphi} {6 d}</math><br>
Так как тело плавает <math>F_a = mg</math><br>
<math>\Theta_c \ddot \varphi = \frac {mg h^2} {6 d} \varphi</math><br>

== Обсуждение результатов и выводы ==
1) Интересно то, что <math>\frac{\rho g S} {m} = k \frac{g} {l}</math>, где l - полная высота параллелепипеда, а k - коэффициент, равный отношению плотности тела к плотности жидкости <br>

== Ссылки по теме ==
[http://ru.wikipedia.org/wiki/%C0%F0%F5%E8%EC%E5%E4 Архимед]

== См. также ==

* [[Справка:Содержание|Справочная информация]]
* [[Курсовые проекты ТМ 20510 (2012)|Список курсовых проектов]]
* [[Кафедра "Теоретическая механика"]]
* [[Степанов Алексей]]


[[Category: Студенческие проекты]]