Кристаллические решетки
Содержание
Общие сведения[править]
Кристаллической решеткой называется множество математических точек, расположение которых в пространстве характеризуется периодической симметрией. При таком определении кристаллическая решетка является чисто математическим (геометрическим) объектом. Часто, однако, под кристаллической решеткой понимается также физический объект (кристалл), структурные элементы которого (атомы, молекулы, частицы, зерна) периодически упорядочены в пространстве (по крайней мере, в недеформированном состоянии кристалла).
Приведем более строгое математическое определение трехмерной кристаллической решетки, при необходимости оно может быть очевидным образом распространено на пространство произвольной размерности, в том числе на одно- и двухмерные пространства.
- Кристаллической решеткой называется множество точек (узлов) в трехмерном пространстве, для которого существует такая тройка некомпланарных векторов, что смещение этого множества на любой из них есть тождественное преобразование.
Очевидно, что подобное множество должно быть неограниченным в пространстве. Если указанная тройка векторов существует, то она может быть выбрана не единственным образом. В качестве основной тройки выбирается такая, чтобы параллелепипед, построенный на ее векторах, имел минимальный объем. Эти векторы называются основными, а параллелепипед — элементарной ячейкой.[1] Основные векторы также определены неоднозначно, однако всегда можно выделить какую-нибудь одну тройку из возможных.
Совокупность узлов, которая может быть получена из некоторого одного узла композициями перемещений на основные векторы, называется решеткой Браве данной кристаллической решетки. Решетка, совпадающая со своей решеткой Браве, называется простой, не совпадающая — сложной. Сложная решетка состоит из нескольких вставленных друг в друга одинаковых решеток Браве. Иными словами, простой называется решетка, для которой перемещение на вектор, соединяющий любые два узла, есть тождественное преобразование. Элементарная ячейка простой решетки содержит один узел, сложной — несколько. Если решетке соответствует плотная упаковка шаров, то такую решетку называют плотноупакованной.
Рассмотрим некоторый узел решетки, который будем называть исходным. Сферы с центром в исходном узле и проходящие через другие узлы решетки, называются координационными. Их принято нумеровать в порядке возрастания радиуса, причем первой считается координационная сфера, на которой находятся узлы, ближайшие к исходному. Координационным числом называется число узлов, лежащих на координационной сфере. Если номер сферы не указывается, то подразумевается первая, а координационное число дает число узлов, соседствующих с исходным. Часто предполагается, что межатомное взаимодействие достаточно быстро убывает на расстоянии, что позволяет рассматривать конечное число координационных сфер, а в ряде случаев ограничиваться одной или двумя сферами.
Примеры кристаллических решеток[править]
Одномерные[править]
Двухмерные[править]
Трехмерные[править]
Примечания[править]
- ↑ В случае узлов, находящихся на границе ячейки, требуется следующее уточнение: элементарной ячейкой называется объединение внутренней области соответствующего параллелепипеда с такой частью его границы, чтобы перемещая ее на основные векторы можно было заполнить все пространство без перекрытий.
См. также[править]
Литература[править]
- А.М. Кривцов. Теоретическая механика. Упругие свойства одноатомных и двухатомных кристаллов: учеб. пособие. - СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2009. - 126 c.
