Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна"

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск

Проект выполняет Мурачёв Андрей, научный руководитель А.М.Кривцов.

Введение к первой модели[править]

Рассматривается модель протопланетного облака, состоящего из пыли и газа, образовавшегося засчет испарения пылинок. Плотность вещества в протопланетном диске превышает $ 10^{-18} g/cm^3 $, размеры частиц космической пыли составляют около 0,1 мкм . Газопылевой диск вокруг формирующейся звезды очень быстро "сплющивается" под действием сил гравитации и центробежной силы, направленных к наиболее плотной части диска в плоскости его вращения. Спустя несколько сотен тысяч лет диск имеет массу около 0,1 Масс Солнца, размеры от 0,2 до 50-70 а.е. и толщину около 0,001 диаметра. Размеры пылевых частиц увеличиваются в результате слипания до 10 мкм; их орбиты становятся почти круговыми. Акустические ударные волны, распространяющиеся в облаке при сжатии протозвездного сгустка вещества и возгорании молодой звезды, способствуют возникновению неоднородностей в диске.

Современные астрофизические модели химической конденсации предполагают, что исходный состав протопланетного облака был близок к составу межзвездной среды и Солнца: по массе до 75% водорода, до 25% гелия и менее 1% всех прочих элементов.

Температура в центральной плоскости протопланетного диска Солнечной системы уменьшалась с удалением от Солнца. Особенно сильно нагревалась ближайшая к звезде "горячая" зона облака: на расстоянии в 1 а.е. температура составляла 300-400 К.

Я пренебрегаю некоторыми важными деталями для облегчения расчёта и упрощения модели. Далее планируется их все,по возможности, учесть. В частности:

1. В протооблаке присутствует газ, помимо испарившегося с пылинок. Его влияние не рассматривается, так как считается, что он весь вытеснен солнечным излучением.

2. Пока непонятна степень оптической прозрачности облака, которая зависит от концентрации и сорта частиц. А именно она оказывает решающие влияние на испарение пылинок. Я считаю облако полностью прозрачным, что, естественно неправда.

4. Соударения между пылинками можно рассматривать, как абсолютно упругие. Хотя это тоже неправда.

Диффузия от точечного стационарного источника[править]

Рассмотрим облако состоящие из небольших шариков, находящихся во взвешенном состоянии. Обозначим их частицами с концентрацией $ w $, Теперь, пусть один какой-нибудь шарик начнёт испарятся-излучать равномерно частицы с интенсивностью $ \dot N $ (част/сек) , пренебрежительно малых размеров (например молекулы).

В случае отсутствия рассеяния уравнение для концентрации $ n $

$ (1):\frac{\partial n}{\partial t} + (\vec\triangledown \cdot n \vec v)= \dot N\delta^3(r) $

Первое слагаемое в силу стационарности-ноль.

$ (2):n v \cdot 4\pi r^2=\dot N $

$ (3):n=\frac{\dot N}{4\pi r^2 v} $

При наличии рассеяния:

$ (4):\frac{\partial n}{\partial t} - D\triangle n = \dot N\delta^3(r) $

$ D $-коэффициент диффузии.

$ (5):-D\frac{dn}{dr} \cdot 4 \pi r^2=\dot N $

$ (6):n=\frac{\dot N}{4\pi r D} $

Коэффициент диффузии для газа состоящего из частиц одного сорта, по определению

$ (7):D=\frac{1}{3} \lambda v $,

где $ \lambda $-длинна свободного пробега, а $ v $- средняя скорость частиц.

В первом приближении можно считать

$ (8):\lambda=\frac{1}{\sqrt{2}\pi d^2 n} $

$ d $-диаметр молекулы.

В более строгом случае формула (7) требует введения поправочного множителя $ \xi_D $, который учитывает максвелловское распределение скоростей молекул газа

$ (9):D=\frac{1}{3}\xi_D \lambda v $,

где $ \xi_D=1.5\div 2.2 $

Литература:

Проф. Варшелович Д.А. Курс лекций "Радиоастрономия".

Я. Грошковский 1975г. Техника высокого вакуума - [1]

Случай дискообразного протопланетного облака[править]

Рассмотрим дискообразное распределенние твёрдых частиц по закону $ \rho(r)=\sqrt{1-\frac{r^2}{R^2}} $. Между частицами действуют силы гравитации. И такое распределение позволяет диску вращаться, как единое целое.

Какждая частица испаряется с интенсивностью $ \dot N $. Стоит отметить, что диск находится в трёхмерном пространстве, а поэтому и испарившейся газ может покидать плоскость диска. (Действие гравитации на газ не учитывается)

Требуется найти концентрацию молекул газа, как функцию расстояния от центра диска, в плоскости диска.

Я использую уравнение для концентрации для случая отсутствия рассеяния.

$ n=\frac{\dot N}{4\pi r^2 v} $

Рассмотрим точку, находящеюся на расстоянии $ r $ от центра диска. Вклад в концентрацию газа в окрестности этой точки элементарного объёма $ dxdydz $, расположенного на расстоянии $ x $ от центра диска будет равен

$ n_{part}(r)=\frac{\dot N\rho(x)dV}{4\pi [x,r]^2 v} $,

где $ [x,r] $ расстояние между $ r $ и $ x $, а элемент объёма $ dV=2\pi x dx d\alpha $

Проинтегрировав по всем $ x $, мы найдём концентрацию в точке $ r $.

$ n(r)=\dot N\int dx \frac{2\pi x \rho(x)}{4\pi [x,r]^2 v}=\dot N\int_0^\pi d\alpha\int_0^R dx\frac{ x\sqrt{1-\frac{x^2}{R^2}} }{v (r^2+x^2-2\cdot r\cdot x\cdot cos(\alpha))} $

В элементарных функциях интеграл не берётся.

Можно отметить, что при $ r=0 $, он вычесляется, и его значение равно бесконечности.

$ \frac{\dot N \pi}{v}{\sqrt{1-\frac{x^2}{R^2}}}-arcctgh\left(\sqrt{1-\frac{x^2}{R^2}}\right) $

Уравнение равновесия.[править]

Для нашего облака сила гравитационного "самопритяжения", должна быть уравновешенна некими другими силами. Очевидно это будет сила давления газа и центробежная сила вращения облака.

$ {\bf F_{grav}=F_c+F_{press}} $

$ \frac{Gm(r)}{r^2}=\frac{v^2}{r}+\frac{dP}{dr}\cdot\frac{1}{w(r)} $

Второе слагаемое правой части самое важное в данном контексте. Выражение для давления состоит из двух частей: Давление газового облака (напомню, именно оно должно давать основной вклад в массу) и давления испарений. Газ, в силу разреженности можно считать идеальным.

Где, $ m(r) $-масса протопланетного диска радиуса $ r $


Испарение пылинок в вакуум[править]

Интенсивность испарения в вакууме [$ g/cm^2\cdot sek $] определяется формулой Ленгмюра.

$ \nu=11,69 p^* \sqrt{\frac{\mu}{T}} $ , где

$ p^* $-давление насыщенного пара данного вещества, Па.

$ \mu $-молекулярная масса вещества

$ T $-Температура облака, K.

Эта формула выведена для абсолютного вакуума, поэтому реальная скорость испарения в космическом пространстве будет меньше расчётной.

см также [2]


$ \dot m =4\pi r^2 \nu => \left(\frac{4}{3}\pi r^3 \rho \right)'=4\nu\pi r^3 => \dot r = \frac{\nu}{\rho} $

Отсюда "время жизни" $ t_l=\frac{r \rho}{\nu} $, для льдинок диаметром 10 мкм эта величина ровна $ 4.4 \cdot 10^{-5} $ сек.

Можно сделать отсюда нижнюю оценку для диаметра частиц. На самом деле "время жизни" пылинки $ t_l $ должно быть больше времени свободного пробега $ \tau $ этой пылинки. Это очень грубо, но для первых оценок вполне достаточно.

$ \tau=\frac{\sqrt{2}}{8\pi} \frac{1}{ w \cdot d^2v} $ ,

где

$ v $- средняя скорость пылинок,

$ d $ -диаметр пылинок.

Сравнивая эту формулу с выражением для "времени жизни" пылинки находим

$ d^3> \frac{\sqrt{2}}{4\pi} \frac{\nu}{\rho n_1 v} $

Давление насыщенного пара воды при $ 30^o C $ равно 4.2455 кПа.

Плотность льда равна 0,917 г/см³

Молекулярная масса воды равна 18 а. е. м.

Теперь остался главный вопрос о концентрации и скорости пылинок.

Сублимация льда с комет[править]

[3]

"Наиболее широко используемой в течение последних 20 лет является модель, которую предложили Марсден и др. (Marsden et al., 1973), исходя из представлений Уиппла о вращающемся кометном ядре (Whipple, 1950a).Основой этой модели действия негравитационных сил является эмпирически установленная А.Дельземмом (Delsemme, 1971) и З.Секаниной (Marsden et al., 1973) формула для скорости сублимации вещества c поверхности кометы в зависимости от гелиоцентрического расстояния

$ Z=Z_0 g(r) $

$ g(r)=\alpha\left( \frac{r}{r_0}\right)^{-m} \left[ 1+\left(\frac{r}{r_0}\right)^{n} \right]^{-k} $

где $ Z_0 $ - количество испаряющихся в 1 секунду молекул с 1 кв. см поверхности на гелиоцентрическом расстоянии в 1.0 а.е.

А.Дельземм (Delsemme, 1972) получил, что для водяного снега при значении альбедо ядра в видимом и инфракрасном участках спектра, равном 0.1, количество испаряющихся молекул $ Z = 3\times 10^{17} $ $ \frac{mol}{sek \cdot sm^2} $, а для остальных постоянных им найдены следующие значения: $ r_0 = 2.808 $ a.e.,$ m = 2.15, n = 5.093, k = 4.6142, \alpha = 0.111262. $ "


Значение $ Z = 3\times 10^{17} $ $ \frac{mol}{sek^1 sm^2} $, можно принять за исходное в данной модели.

См. также[править]